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Corso di AM450 - Analisi Funzionale (Università degli Studi Roma Tre - A.A. 2020-21)

AVVISO: È STATA PUBBLICATA UNA VERSIONE AGGIORNATA DELLE DISPENSE DEL CORSO.

Programma di massima:

Spazi di Banach e Hilbert, proprietà generali, proiezioni negli spazi di Hilbert, sistemi ortonormali.
Teorema di Hahn-Banach, forma analitica e geometrica, conseguenze.
Spazi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus, della mappa aperta e del grafico chiuso, applicazioni.
Topologie deboli, chiusi e convessi, Teorema di Banach-Alaoglu, separabilità, riflessività e uniforme convessità.
Spazi di Sobolev in una dimensione, Teoremi di immersione, disuguaglianza di Poincaré, applicazione a problemi variazionali.
Teoria spettrale, alternativa di Fredholm, teorema spettrale per operatori compatti e autoaggiunti, applicazione a problemi variazionali.

Diario delle lezioni e programma definitivo:

Lezioni 1-2 (23/02/2021): Introduzione al corso; definizioni di (semi)norme, equivalenza, spazio di Banach; applicazioni lineari, esempi. Traccia.

Lezioni 3-4-5 (26/02/2021): Caratterizzazione delle mappe lineari continue, spazio delle mappe lineari continue, isometrie, duali; prodotti scalari, spazi di Hilbert, ortogonalità. Traccia.

Lezioni 6-7 (02/03/2021): Proprietà degli ortogonali; proiezione su un chiuso convesso. Traccia.

Lezioni 8-9-10 (05/03/2021): Proiezione su un sottospazio lineare chiuso; Teorema di Riesz-Fréchet; sistemi ortonormali, serie di Fourier, disuguaglianza di Bessel. Traccia.

Lezioni 11-12 (09/03/2021): Sistemi ortonormali completi; caratterizzazione dei sistemi ortonormali; isometria tra spazi di Hilbert e spazi L2. Traccia.

Lezioni 13-14-15 (12/03/2021): Teorema di Hahn-Banach, applicazione agli spazi duali; immersione isometrica nel bi-duale, spazi riflessivi. Traccia.

Lezioni 16-17 (16/03/2021): Funzionale di Minkowski di un insieme convesso, proprietà separazione di insiemi convessi. Traccia.

Lezioni 18-19-20 (19/03/2021): I e II forma geometrica del Teorema di Hahn-Banach; ortogonalità in spazi di Banach; Insiemi di prima e seconda categoria, Teorema di Baire. Traccia.

Lezioni 21-22 (23/03/2021): Teorema di Banach-Steinhaus, applicazioni; limiti di mappe lineari, convergenza delle serie di Fourier per funzioni continue e funzioni Hölderiane. Traccia.

Lezioni 23-24-25 (26/03/2021): Teorema della mappa aperta, continuità dell'inverso di un operatore lineare; Teorema del grafico chiuso; complementari e proiezioni, esistenza del complementare dei sottospazi finito-dimensionali. Traccia.

Lezioni 26-27 (30/03/2021): Caratterizzazione delle mappe con inverso destro/sinistro continuo; condizione equivalente alla convergenza di successioni in l1; esempio di mappa suriettiva senza inverso destro continuo. Traccia.

Lezioni 28-29-30 (09/04/2021): Successioni limitate senza estratte convergenti; convergenza debole, definizione e proprietà topologia debole, definizione e proprietà. Traccia.

Lezioni 31-32 (13/04/2021): Caratterizzazione dei chiusi convessi; definizione e proprietà di convergenza e topologia debole*; differenze tra topologia debole e topologia debole*. Traccia.

Lezioni 33-34-35 (23/04/2021): Teorema di Banach-Alaoglu; Lemma di Goldstine, Teorema di Kakutani; relazione tra riflessività e separabilità spazi uniformemente convessi. Traccia.

Lezioni 36-37 (27/04/2021): Teorema di Milman-Pettis; caratterizzazione della convergenza in spazi uniformemente convessi; Disuguaglianza di Hanner, uniforme convessità degli spazi Lp. Traccia.

Lezioni 38-39-40 (30/04/2021): Derivate deboli, caratterizzazione dell'esistenza di una derivata debole; spazi di Sobolev, completezza; caratterizzazione degli spazi di Sobolev. Traccia.

Lezioni 41-42 (04/05/2021): Operatori compatti; immersioni continue, immersioni compatte; Teorema di immersione di Sobolev. Traccia.

Lezioni 43-44-45 (07/05/2021): Dimostrazione del Teorema di immersione di Sobolev; funzioni di Sobolev nulle al bordo, disuguaglianza di Poincaré densità delle funzioni lisce a supporto compatto negli spazi di Sobolev; soluzioni deboli di problemi ai valori al bordo. Traccia.

Lezioni 46-47 (11/05/2021): Regolarità delle soluzioni deboli; soluzioni come punti di minimo di un funzionale; esistenza e unicità di soluzioni deboli. Traccia.

Lezioni 48-49-50 (14/05/2021): Operatore risolvente; spazi di Banach e di Hilbert complessi; spettro puntuale, continuo e residuo; proprietà dello spettro. Traccia.

Lezioni 51-52 (18/05/2021): Esempi di spettri di operatori; definizione di raggio spettrale, caratterizzazione. Traccia.

Lezioni 53-54-55 (21/05/2021): Proprietà degli operatori del tipo identità meno compatto; alternativa di Fredholm per operatori compatti; teorema spettrale per operatori compatti, esempi. Traccia.

Lezioni 56-57-58 (28/05/2021): Dimostrazione del teorema spettrale per operatori compatti; operatore aggiunto, proprietà operatori autoaggiunti, proprietà. Traccia.

Lezioni 59-60 (01/06/2021): Teorema spettrale per operatori autoaggiunti compatti, esempi. Traccia.

Orario delle lezioni:

Martedì ore 14-16 e Venerdì ore 9-12, online su Microsoft Teams.

Orario di ricevimento:

Studio 202 (palazzina C) oppure online su Microsoft Teams, per appuntamento.

Modalità di esame:

Consegna degli esercizi assegnati (Prima, seconda e terza assegnazione) e prova orale.

Esami:

Appello A: Lunedì 14 Giugno 2021;
Appello B: Lunedì 28 Giugno 2021;
Appello X: Lunedì 30 Agosto 2021;
Appello C: Lunedì 17 Gennaio 2022.

Testi consigliati:

H. Brezis - Analisi Funzionale - Liguori (1986);
H. Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations - Springer (2010);
W. Rudin - Functional Analysis - McGraw-Hill (1991);
L. Battaglia - Dispense di analisi funzionale.