Home page di Michela Procesi
Positions
- ''Assegno
di Ricerca'' at SISSA (Trieste), April 2002- Sept. 2004
- ''Assegno
di Ricerca'' at the University of Rome Tre, March 2005- Sept. 2006
- Post. Doc.
grant '' Francesco Severi'' INdAM, Oct. 2006-Oct. 2007
- Reasercher
of Mathematical Analysis at University Federico II of Naples,
november 2007- december 2011
- Reasercher
of Mathematical Analysis at University of Rome La Sapienza,
jan. 2012- aug. 2015
- Associate
Professor in Mathematical
Analysis
at University of Roma Tre, sept. 2015-oct. 2019
- Full
professor in Mathematical
Analysis
at University of Roma Tre, since Nov. 2019
- November
2012- Oct. 2018 Principal Investigator of the ERC starting
grant:
Hamiltonian PDEs and small divisor problems:
a dynamical systems approach.
- Hamiltonian
Partial Differential Equations:
- Periodic
and Quasi-Periodic solutions for semi-linear PDEs
- Normal
forms, Periodic and Quasi-Periodic solutions for completely
resonant
PDE's
- Lindstedt
series and Small divisor problems in high dimensional PDE's
- Nash-Moser
Implicit Function Theorems
- Dynamical
Systems: Arnold Diffusion
- Integrable
PDEs
Attività
di Ricerca:
Mi occupo principalmente di analisi non lineare e sistemi dinamici in
dimensione finita e infinita.
Attualmente i miei principali interessi di ricerca sono legati ai problemi
di piccoli divisori e alla
ricerca di soluzioni globali per sistemi dinamici ed in particolare per
EDP quali per esempio
l'equazione di Schrodinger e delle onde non lineari su tori o gruppi di
Lie compatti.
Ho affrontato questi problemi usando sia tecniche di rinormalizzazione che
teoria KAM e metodi
Nash-Moser. Mi sono anche occupata di problemi legati alle forme normali
di Birkhoff, in
particolare per lo studio di fenomeni di stabilità ed instabilità
-controllo/crescita delle norme di
Sobolev- per l' equazione di Schrodinger nonlineare su un toro.
Tali questioni richiedono l'uso di metodi combinatori interessanti, che
sono applicabili in vari contesti.
Mi sono interessata all'uso di metodi di calcolo pseudo e para
differenziale per dimostrare
l'esistenza e stabilità di soluzioni quasi periodiche per PDE
completamente non lineari sul cerchio.
Questa strategia è stata proposta da Baldi Berti e Montalto per la KdV e
poi generalizzata al caso
delle onde d’acqua. Con Feola e Corsi abbiamo quindi studiato una
strategia generale che permetta
di studiare per esempio anche casi autonomi e/o reversibili. Tale
approccio, nel caso di una NLS
completamente non-lineare permette anche di dimostrare l'esistenza di
soluzioni analitiche (per la
sua natura la strategia proposta da BBM produce soluzioni con regolarità
finita).
Ho anche studiato la persistenza di tori infinito dimensionali, sia per
PDE semilineari che quasilineari.
[0] A.
Degasperis e M. Procesi A
test in Asymptotic Integrability of 1 + 1 wave
equations in Proceedings of the international
conference in Tiruchirapalli India, Feb 1998 pp.17-23
[1] A. Degasperis, M. Procesi: Asymptotic
Integrability,
in Proceedings of the International Workshop on
Symmetry and Perturbation Theory SPT98, A. Degasperis, G. Gaeta ed.
World Scientic Press pp. 23-37. This paper has
more than 400 citations on ISI Web of Science
[2] M. Procesi:
Exponentially small splitting and Arnold
diffusion for multiple time scale systems Rev. Math. Phys. 15, 4
(2003), pp. 339-386
[3] G. Gentile, V. Mastropietro, M. Procesi: Periodic
solutions
of completely resonant nonlinear wave equations Comm.
Math. Phys. 256, 2 (2005), pp. 437-490
[4] M. Procesi: Quasi-periodic solutions
for completely resonant nonlinear wave equations in 1D and 2D
Discr.
Cont. Dyn. Syst. A 13, 3 (2005) pp. 541-552
[5] G. Gentile, M. Procesi: Conservation of
resonant periodic solutions for the one dimensional nonlinear
Schrodinger equation, Comm. Math. Phys. 262, 3 (2006), pp.
533-553.
[6] M. Berti, M. Procesi: Quasi-periodic oscillations for wave
equations under periodic forcing Rendiconti Mat. Acc. Naz. Lincei. s.9
16 (2005) pp. 109-116.
[7] M. Berti, M. Procesi: Quasi-periodic solutions of
completely resonant forced wave Comm. in PDEs 31 , 6 (2006),
pp.959-985.
[8] V. Mastropietro, M. Procesi: Lindstedt
series for periodic solutions of beam equations under quadratic and
velocity dependent nonlinearities Comm. Pure Appl. Anal. 5, 1,
(2006) pp. 1-28
[9] G. Gentile, M. Procesi: Periodic solutions for
the Schrodinger equation with non-local smoothing nonlinearities in
higher dimension. J. Diff. Eq. Vol. 245, (2008) pp. 3253-3326
[10] G. Gentile, M. Procesi: Periodic
solutions
for a class of nonlinear partial differential equations in
higher dimension. Comm. Math. Phys. vol. 289; pp. 863-906 (2009)
[11] M. Berti,
P. Bolle, M. Procesi: An abstract Nash Moser theorem
with applications to non linear PDEs Annales Inst. Poincare vol.
27;
(2010) pp. 377-399.
[12] M. Berti, M. Procesi: Nonlinear
wave
equations on Compact Lie groups and homogeneous manifolds.
Duke Math. J. Vol. 159, n. 3 (2011), p. 479-538.
[13] L. Corsi, G. Gentile, M. Procesi: KAM theory in
conï¬guration space and cancellations in the Lindstedt series
Communications in Mathematical Physics 302 (2011), no. 2, 359-402.
[14] M. Procesi: A normal form for beam and
non-local nonlinear Schrodinger equations J. Phys. A: Math. Theor.
Vol: 43 (2010) n. 434028
[15] Procesi C.and Procesi M.: A
normal form of the nonlinear Schrodinger equation with
analytic
non--linearities
Comm. Math. Phys 312 (2012), 501-557
[16] Berti M. ,
Biasco L. Procesi M.: KAM theory for the
Hamiltonian
derivative wave equation Annales Scientifiques de l'
ENS 46 (2) 2013
[17] Procesi M.
and Xu X.: Quasi-Toplitz Functions in KAM Theorem.
SIAM
J. of
Math. Anal. vol. 45, p. 2148-2181
[18] Bich V. Procesi C. and Procesi M.: The
energy
graph of
the nonlinear Schrodinger equation.
Rend. Lincei Mat. Appl., 24, 2013.
[19] Berti
M. , Biasco L. Procesi M.
Existence
and
stability of quasi-periodic solutions for derivative wave
Rend. Lincei Mat. Appl.
p. 199-214 vol 24, 2013
[20] Berti
M. , Biasco L. Procesi M. KAM
for
Reversible Derivative Wave Equations, Archive for Rational
Mechanics and Analysis: Volume 212, Issue 3 (2014), Page 905-955
[21] Berti M.,
Corsi L., Procesi M. An
abstract
Nash-Moser theorem and quasi-periodic
solutions for NLW and NLS on compact Lie groups and homogeneous
manifolds Comm. Math. Phys. 334 (2015) n.3 pp. 1413-1454
[22] M. Procesi, C. Procesi:
A KAM
algorithm for the resonant
non-linear Schroedinger equation Advances in math. (2015), pp.
399-470
[23] L.Corsi, E. Haus, M. Procesi: A
KAM result on Compact Lie Groups,
Acta Appl. Math, 137 (2015) 41–59.
[24] E. Haus, M. Procesi: Growth
of
Sobolev norms for the quintic NLS
on T^2, Analysis and PDEs 8 (2015), 883-922.
[25] R. Feola, M. Procesi: Quasi-periodic
solutions
for fully nonlinear
forced reversible Schroedinger equations, J. D.E. 259 (2015) 7.
[26] M. Procesi, C. Procesi: Reducible quasi-periodic solutions for the
non linear Schrödinger equation. Boll. Unione Mat. Ital. 9 (2016)
189–236.
[27] M. Guardia, E. Haus, M. Procesi: Growth
of
Sobolev norms for the
defocusing analytic NLS on T^2. Advances in Math. 301 (2016),
615–692.
[28] Procesi, C.; Procesi, M. The NLS on a torus. Theory and
applications in mathematical physics, 107–118, World Sci. Publ.,
Hackensack, NJ, 2016. 35Q55
[29] E. Haus, M. Procesi: KAM
for
beating solutions of the quintic NLS
, Comm. Math. Phys. 354 (2017)
3. pp 1101–1132
[30] A. Maspero, M. Procesi: Long time stability of small finite gap
solutions of the cubic Nonlinear Schrödinger equation
on T^2, J. Differential
Equations (2018), 265 3212–3309.
[31] L.Corsi, R. Feola, M. Procesi:Finite dimensional invariant KAM
tori for tame vector fields, preprint 2016. Transactions AMS,
DOI: https://doi.org/10.1090/tran/7699
[32] R. Feola, F. Giuliani, R. Montalto, M. Procesi: Reducibility of
first order linear operators on tori via Moser's theorem, J. Funct.
Anal. (2019) 275 (3) 932-970
[33]R. Feola, F. Giuliani, M. Procesi: Reducibility for a class
of weakly dispersive linear operators arising from the Degasperis
Procesi equation, (2019) Dynamics of partial differential equations 16
(1):25-94
[34] L. Biasco, J. Massetti, M. Procesi: An Abstract Birkhoff Normal
Form Theorem and Exponential Type Stability of the 1d NLS. Commun.
Math. Phys. (2019). https://doi.org/10.1007/s00220-019-03618-x
[35] R. Feola, M. Procesi: KAM for quasi-linear autonomous NLS,
preprint 2016.
[36] M. Guardia, Z. Hani, E. Haus, A. Maspero, M. Procesi: Instability
of finite gap solutions for the NLS on T^2. to appear on J.E.M.S.
[37] R. Feola, F. Giuliani, M. Procesi: Quasi periodic solutions for
Hamiltonian perturbations of the Degasperis-Procesi equation. Comm.
Math. Phys 377(3), pp. 1681-1759
[38] L. Biasco, J. Massetti, M. Procesi: Almost periodic
invariant tori for the nonlinear Schrodinger equation. Annales de l'Institut
Henri Poincare (C) 38(3), pp. 711-758
[39] Montalto, R., Procesi, M. Linear Schrödinger equation
with an almost periodic potential SIAM Journal on Math. Analysis
53(1), pp. 386-434
[40]Corsi, L., Montalto, R., Procesi, M. Almost-Periodic
Response Solutions for a Forced Quasi-Linear Airy Equation
Journal of Dynamics and Differential Equations 33(3), pp.
1231-1267
Invited
speaker in international conferences:
-Trimester on Dynamical systems, Sissa Trieste sept.-dec ’03.
-Dynamical Systems: Classical, Quantum and Stochastic, Acireale sept.
’04.
-Integrable Systems, Cuernavaca (Mx) 9-16 nov. ’04
-AIMS’ Sixth International Conference on Dyn. Systems, Diff. Equations
and Applications 25-28 june 2006.
-SPT2007 (Otranto 2-9 june 2007).
-Dynamics Days Europe, Loughborough (UK) 9-13 luglio 2007.
-Renormalization in dynamical systems Inst. Erwin Schrodinger Vienna
october 2007.
-Summer School Hamiltonian PDE’s and Variational Methods, CAPRI, Villa
Orlandi 8-12 sept. 2008.
-Indam-ERC intensive period: New connections between dynamical systems
and Hamiltonian PDEs NAPOLI, April 1- June 6, 2009.
-Workshop on ”New connections between dynamical systems and Hamiltonian
PDEs”, Capri October 15-16 2010.
-Workshop KAM theory and Cauchy problems for PDEs, 23-27 may 2011.
-Integrability and Physics, Conference in honour of Antonio Degasperis
70's birthday, La Sapienza, Rome, 25/03/2011.
-XIX Congresso UMI, Bologna, 12 settembre 2011.
-Mechanics: classical, statistical and quantum (in honor of the 70th
birthday of Giovanni Gallavotti), La Sapienza, Rome, 2-5/07/2012.
-Nonlinear Hamiltonian PDEs, Ascona, July 1 - 6, 2012.
- Hamiltonian and Dispersive Equations CIRM Luminy 24-28 july 2013.
- Multiscale methods in Small Divisor problems. Maiori 16-20 Sept.
2013.
- "16th General Meeting of the European Women in Mathematics", Bonn
(Germany), Sept. 2013- Plenary speaker.
-SPT 2014, Cala Gonone (Italy), May 2014.
-Geometric and Analytic Aspects of Integrable and nearly-Integrable
Hamiltonian Systems ,
University of Milano-Bicocca (Italy), 18-20 June 2014
- Dynamics and PDEs, Cargese (Corsica, France) 11-14 November 2014.
- KAM and Dispersive Methods in PDEs, Milano (Italy) 1-5 December 2014.
- Two-day meeting in honor of Antonio Ambrosetti, Venezia (Italy) 14-15
December 2014.
- The Conference on Hamiltonian Dynamical Systems, Fudan University in
Shanghai (China), 4-10 January 2015.
- "Sixth Itinerant Meeting in PDEs" Trieste, 14-16 January 2015.
- Summer school "Normal forms and large time behavior for nonlinear
PDE", Nantes (France), 22 June-3 July 2015.
-SIAM Conference Analysis and PDEs, Scottsdale (USA), 7-10 Dec 2015
- Dynamics of Evolution Equations, CIRM -Luminy (France) March 21-25,
2016
- Dynamical Systems, Differential Equations and Applications Orlando
July 1-5, 2016.
-Summer School Nonlinear Waves, IHES Paris (France) 18-29 July 2016,
-Dynamics and PDEs, Saint Etienne de Tinée (France), Feb. 2017.
Invited speaker for Mini-courses
- Dynamics and PDEs , S. Etienne de Tinée, 3-8 Fevrier 2013.
-Summer School Nonlinear Waves, IHES Paris (France) 18-29 July 2016.
Workshop "dynamics of hamiltonian PDEs" La Thuile, Feb 2018
- Workshop “Variational Methods in analysis, geometry and physics” Pisa, Feb
2018
-Workshop on Quasi-periodic Dynamics and Schrödinger operators Nanjing 3-7
Set. 2018.
-Leaning tori (Scuola Normale Superiore, Pisa, 20-23 May 2019
-Invited speaker to the international
Congress of Mathematical Physics (section Dynamical systems)
Geneva, 2-7 Aug 2021
-INdAM Workshop "Qualitative properties of dispersive PDEs", Roma 2-7 Sept.
2021
-Dynamics Days (Journées de Dynamique) at the University of Paris, Oct. 2021
-Invited speaker to Iternational Congress
of Mathematics (section Dynamical systems) July 2022
Member of the organizing
comittee of:
• Summer School Hamiltonian PDE’s and Variational Methods, CAPRI, Villa
Orlandi
8-12 september 2008.
• Indam-ERC intensive period: New connections between dynamical systems
and
Hamiltonian PDEs NAPOLI, April 1- June 6, 2009.
• Workshop on ”New connections between dynamical systems and
Hamiltonian
PDEs”, October 15-16 2010.
• International Workshop on “KAM and Cauchy Theory for PDEs”, June 4-7
2012.
• School and Workshop “New perspectives in nonlinear PDEs”, September
17-29 2012.
• “Analysis and Dynamics, in occasion of Luigi Chierchia's 60th
birthday” Patù, 12-15 ottobre 2017.
Member of the scientifc and
organizing comittee:
• Symmetry and perturbation theory SPT(2007) 2-9 june 2007.
• KAM theory and Cauchy problems for PDEs, school and workshop 17-27
may 2011.
• Workshop on Multiscale methods in Small Divisor problems. Maiori
16-20 Sept. 2013
• Roman Summer School and Workshop: KAM Theory and Dispersive PDEs.
Rome 1-11 Sept. 2014
• Hamiltonian Dynamics PDEs and Waves on the Amalfi coast, Maiori 5-11
Sept. 2016
STUDENTI
Undergraduate students:
Triennale: (A Sapienza) Jacopo Sbrolli (Fisica)Il teorema di
Arnold-Liouville.
A Roma 3:
Gabriele Lioy (Fisica) Teoria delle biforcazioni e
applicazioni al problema dei tre corpi.
Matteo Pandolfi (Matematica) La Trasformata di
Fourier
Nicoletta Camerini (Matematica) Funzioni
periodiche, serie di Fourier e applicazioni.
Magistrale:
Shulamit Terracina:Matematica) Riducibilita'
per PDE con coefficienti quasi-periodici nel tempo.
PhD Students:
Roberto Feola (Sapienza) Quasi-periodic
solutions for fully nonlinear NLS
mentoring : Elisa Magistrelli( Federico II), Filippo Giuliani
(SISSA) KAM
for quasi-linear PDEs
Post-docs: Livia Corsi, Emanuele Haus, Alberto Maspero, Jessica Massetti,
Shidi Zhou, Filippo Guliani, Stefano Pasquali.
Nella mia tesi di laurea (nel
campo delle equazioni integrabili), ho sviluppato un test (basato su
espansioni asintotiche) per verificare l'integrabilità delle PDE in 1+1
dimensioni. Questo test è stato utilizzato con successo per scoprire
una nuova equazione integrabile -l'equazione di Degasperis-Procesi (DP)
che è ampiamente studiata per le sue applicazioni all'idrodinamica.
Nella tesi di dottorato ho
lavorato sul problema dellao splitting omoclinica o della diffusione di
Arnold. Ho usato principalmente le tecniche diagrammatiche sviluppate
da Gallavotti e dal suo gruppo, Uno dei miei principali contributi in
questo campo è stata la costruzione di una nuova quantità conservata,
che mi ha permesso di dimostrare una congettura di lunga data di
Gallavotti sulla matrice di splitting in sistemi a priori stabili
con più scale temporali.
PDE Hamiltoniane: i primi risultati (collaborazione con Gentile e
Mastropietro) sono stati sull'esistenza di soluzioni periodiche per
l'equazione d'onda completamente risonante in una dimensione . Questo
lavoro ha posto le basi per l'applicazione della serie Lindstedt alle
PDE.
Con Berti e Bolle ho proposto un algoritmo astratto di tipo Nash-Moser
che si è dimostrato di notevole utilità per problemi di piccoli
divisori nelle PDE. Ho dimostrato, con M. Berti, l'esistenza di
soluzioni periodiche per NLS e NLW su una varietà compatta omogenea (o
un gruppo di Lie compatto), piu' tardi con Berti e Corsi ho
generalizzato tale ristultato a soluzioni quasi-periodiche. Si tratta
ad ora dell'unico risultato di questo tipo su varieta' compatte che non
siano tori o sfere.
Con C. Procesi [PP] ho dimostrato l'esistenza di forme normali
integrabili approssimate per la NLS completamente risonante sul toro.
La costruzione richiede una combinazione di metodi di algebra,
geometria algebrica e dinamica. Questo approccio algebro-combinatorio è
un modo molto innovativo di studiare la geometria dell'insieme dei siti
singolari che ci ha permesso di fornire un'analisi molto accurata della
struttura della NLS e quindi dimostrare un risultato di riducibilità
senza l'uso delle condizioni di Melnikov.
Con Berti e Biasco ho studiato esistenza e stabilita' di soluzioni
quasi-periodiche per l'equazione delle onde con una derivata. Con Feola
la NLS completamente nonlineare. Con Feola e Giuliani ho studiato
l'approccio pseudo-differenziale per l'esistenza e stabilita' di
soluzioni quasi-periodiche per la DP.
soluzioni almost-periodiche: ho studiato il problema della
costruzione di tori infinito dimensionali
per NLS (sul cerchio) e collateralmente quello di introdurre schemi KAM in
cui la condizione di
piccolezza non tenda a zero con il numero di frequenze. In particolare (con
J. Massetti e L. Biasco)
ho dimostrato il primo risultato di esistenza di soluzioni almost-periodiche
deboli per la NLS con
parametri esterni.
Con Corsi e Montalto ho studiato la KdV quasi-lineare forzata.
Soluzioni quasi-periodiche: Con R. Feola, F. Giuliani e R. Montalto in [8]
abbiamo dimostrato la
riducibilita' di operatori del prim'ordine su tori di dimensione arbitraria.
Questo ci ha permesso di
studiare l’equazione DP.
Forme Normali: Con Maspero, abbiamo dimostrato la riducibilita` e
un passo di stabilita`
nonlineare delle finite gap solutions unidimensionale nella NLS su T^2. Ora
stiamo considerando lo
stesso problema per generiche soluzioni quasi-periodiche. Parallelamente,
con Massetti e Biasco, ho
dimostrato la stabilità non lineare vicino a zero per la NLS con parametri
esterni sul cerchio, qui lo
scopo e’ di dare stime di tipo Nekoroshev (esponenziali o subesponenziali
w.r.t la taglia del dato
iniziale) per i tempi di stabilità, sia nel caso di dati iniziali analitici
che in classe Sobolev
Crescita delle norme di Sobolev: Un problema duale a quello della
esistenza e stabilità di soluzioni
quasi- periodiche è quello di costruire soluzioni instabili in cui si
trasferisce energia dai modi di
Fourier bassi a quelli alti. Il primo risultato in questa direzione è stato
ottenuto dall'I-team per la
NLS cubica sul toro bidimensionale, con Haus e Guardia ho generalizzato tale
risultato a NLS
qualsiasi. Usando il risultato di stabilità ottenuto con Maspero ho
dimostrato con Haus, Maspero, Guardia
e Hani l’esistenza di orbite instabili per la NLS cubica su T^2 vicino alle
finite gap solutions.
Questo é il primo passo nella direzione di costruire orbite instabili (la
cui norma di Sobolev cresce
di un fattore arbitrariamente grande) vicino ai tori KAM della NLS, problema
su cui stiamo
attivamente lavorando.
