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Materiale  per gli studenti di Roma3




DIDATTICA 2021/22

Corso di Analisi Matematica 1 per ingegneria civile

Corso di AM430: TOPICS IN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS


DIDATTICA 2020/21

Corso di AM210: Analisi Matematica 3

Corso di Analisi II per fisici (vedere il sito di AM210-220)


Corso di Analisi Matematica 1 per ingegneria civile

Corso di AM550 Probemi di piccoli divisori


link alla didattica degli anni passati:


Curriculum:

Nata a Roma.  Laurea in fisica nel 98. (Metodo multiscala ed integrabilita', con Degasperis)

Dottorato in matematica nel 2002 (Estimates on Hamiltonian splitings con Chierchia)





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Positions





Attività di Ricerca:
Mi occupo principalmente di analisi non lineare e sistemi dinamici in dimensione finita e infinita.

Attualmente i miei principali interessi di ricerca sono legati ai problemi di piccoli divisori e alla
ricerca di soluzioni globali per sistemi dinamici ed in particolare per EDP quali per esempio
l'equazione di Schrodinger e delle onde non lineari su tori o gruppi di Lie compatti.

Ho affrontato questi problemi usando sia tecniche di rinormalizzazione che teoria KAM e metodi
Nash-Moser. Mi sono anche occupata di problemi legati alle forme normali di Birkhoff, in
particolare per lo studio di fenomeni di stabilità ed instabilità -controllo/crescita delle norme di
Sobolev- per l' equazione di Schrodinger nonlineare su un toro.
Tali questioni richiedono l'uso di metodi combinatori interessanti, che sono applicabili in vari contesti.

Mi sono interessata all'uso di metodi di calcolo pseudo e para differenziale per dimostrare
l'esistenza e stabilità di soluzioni quasi periodiche per PDE completamente non lineari sul cerchio.
Questa strategia è stata proposta da Baldi Berti e Montalto per la KdV e poi generalizzata al caso
delle onde d’acqua. Con Feola e Corsi abbiamo quindi studiato una strategia generale che permetta
di studiare per esempio anche casi autonomi e/o reversibili. Tale approccio, nel caso di una NLS
completamente non-lineare permette anche di dimostrare l'esistenza di soluzioni analitiche (per la
sua natura la strategia proposta da BBM produce soluzioni con regolarità finita).
Ho anche studiato la persistenza di tori infinito dimensionali, sia per PDE semilineari che quasilineari.



Publications:

 

[0] A. Degasperis e M. Procesi A test in Asymptotic Integrability of 1 + 1 wave equations in Proceedings of the international conference in Tiruchirapalli India, Feb 1998 pp.17-23

[1] A. Degasperis, M. Procesi: Asymptotic Integrability, in Proceedings of the International Workshop    on Symmetry and Perturbation Theory SPT98, A. Degasperis, G. Gaeta ed. World Scientic Press pp. 23-37.     This paper has more than 400 citations on ISI  Web of Science

[2] M. Procesi: Exponentially small splitting and Arnold diffusion for multiple time scale systems Rev. Math. Phys. 15, 4 (2003), pp. 339-386

[3] G. Gentile, V. Mastropietro, M. Procesi: Periodic solutions of completely resonant nonlinear wave equations Comm. Math. Phys. 256, 2 (2005), pp. 437-490

[4] M. Procesi: Quasi-periodic solutions for completely resonant nonlinear wave equations in 1D and 2D  Discr. Cont. Dyn. Syst. A 13, 3 (2005) pp. 541-552

[5] G. Gentile, M. Procesi: Conservation of resonant periodic solutions for the one dimensional nonlinear Schrodinger equation, Comm. Math. Phys. 262, 3 (2006), pp. 533-553.

[6] M. Berti, M. Procesi: Quasi-periodic oscillations for wave equations under periodic forcing Rendiconti Mat. Acc. Naz. Lincei. s.9 16 (2005) pp. 109-116.

[7] M. Berti, M. Procesi: Quasi-periodic solutions of completely resonant forced wave Comm. in PDEs 31 , 6 (2006), pp.959-985.

[8] V. Mastropietro, M. Procesi: Lindstedt series for periodic solutions of beam equations under quadratic and velocity dependent nonlinearities Comm. Pure Appl. Anal. 5, 1, (2006) pp. 1-28

[9] G. Gentile, M. Procesi: Periodic solutions for the Schrodinger equation with non-local smoothing nonlinearities in higher dimension. J. Diff. Eq. Vol. 245, (2008) pp. 3253-3326

[10] G. Gentile, M. Procesi: Periodic solutions for a class of nonlinear partial differential equations in higher dimension. Comm. Math. Phys. vol. 289; pp. 863-906 (2009)

[11] M. Berti, P. Bolle, M. Procesi: An abstract Nash Moser theorem with applications to non linear PDEs Annales Inst. Poincare vol. 27; (2010) pp. 377-399.

[12] M. Berti, M. Procesi: Nonlinear wave equations on Compact Lie groups and homogeneous manifolds. Duke Math. J. Vol. 159, n. 3 (2011), p. 479-538.

[13] L. Corsi, G. Gentile, M. Procesi: KAM theory in configuration space and cancellations in the Lindstedt series Communications in Mathematical Physics 302 (2011), no. 2, 359-402.

[14] M. Procesi: A normal form for beam and non-local nonlinear Schrodinger equations J. Phys. A: Math. Theor. Vol: 43 (2010) n. 434028


[15] Procesi C.and Procesi M.: A normal form of the nonlinear Schrodinger equation
with analytic non--linearities Comm. Math. Phys 312 (2012), 501-557

[16] Berti M. , Biasco L. Procesi M.: KAM theory for the Hamiltonian derivative wave equation  Annales Scientifiques de l' ENS  46 (2) 2013

[17] Procesi M. and Xu X.: Quasi-Toplitz Functions in KAM Theorem.  SIAM J. of Math. Anal. vol. 45, p. 2148-2181

[18] Bich V. Procesi C. and  Procesi M.:  The energy graph of the nonlinear Schrodinger equation. Rend. Lincei Mat. Appl., 24, 2013.

[19] Berti M. , Biasco L. Procesi M. Existence and stability of quasi-periodic solutions for derivative wave Rend. Lincei Mat. Appl. p. 199-214 vol 24, 2013

[20] Berti M. , Biasco L. Procesi M. KAM for Reversible Derivative Wave Equations, Archive for Rational Mechanics and Analysis: Volume 212, Issue 3 (2014), Page 905-955

[21] Berti M., Corsi L., Procesi M. An abstract Nash-Moser theorem and quasi-periodic solutions for NLW and NLS on compact Lie groups and homogeneous manifolds Comm. Math. Phys. 334 (2015) n.3 pp. 1413-1454

[22] M. Procesi, C. Procesi: A KAM algorithm for the resonant non-linear Schroedinger equation Advances in math. (2015), pp. 399-470

[23] L.Corsi, E. Haus, M. Procesi: A KAM result on Compact Lie Groups, Acta Appl. Math, 137 (2015) 41–59.

[24] E. Haus, M. Procesi: Growth of Sobolev norms for the quintic NLS on T^2, Analysis and PDEs 8 (2015), 883-922.

[25] R. Feola, M. Procesi: Quasi-periodic solutions for fully nonlinear forced reversible Schroedinger equations, J. D.E. 259 (2015) 7.

[26] M. Procesi, C. Procesi: Reducible quasi-periodic solutions for the non linear Schrödinger equation. Boll. Unione Mat. Ital. 9 (2016) 189–236.

[27] M. Guardia, E. Haus, M. Procesi: Growth of Sobolev norms for the defocusing analytic NLS on T^2. Advances in Math. 301 (2016), 615–692.

[28] Procesi, C.; Procesi, M. The NLS on a torus. Theory and applications in mathematical physics, 107–118, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2016. 35Q55

[29] E. Haus, M. Procesi: KAM for beating solutions of the quintic NLS , Comm. Math. Phys. 354 (2017) 3. pp 1101–1132

[30] A. Maspero, M. Procesi: Long time stability of small finite gap solutions of the cubic Nonlinear Schrödinger equation on T^2,  J. Differential Equations (2018), 265  3212–3309.

[31] L.Corsi, R. Feola, M. Procesi:Finite dimensional invariant KAM tori for tame vector fields, preprint 2016.  Transactions AMS, DOI: https://doi.org/10.1090/tran/7699

[32] R. Feola, F. Giuliani, R. Montalto, M. Procesi: Reducibility of first order linear operators on tori via Moser's theorem, J. Funct. Anal. (2019) 275 (3)  932-970

[33]R. Feola, F. Giuliani,  M. Procesi: Reducibility for a class of weakly dispersive linear operators arising from the Degasperis Procesi equation, (2019) Dynamics of partial differential equations 16 (1):25-94

[34] L. Biasco, J. Massetti, M. Procesi: An Abstract Birkhoff Normal Form Theorem and Exponential Type Stability of the 1d NLS. Commun. Math. Phys. (2019). https://doi.org/10.1007/s00220-019-03618-x

[35] R. Feola, M. Procesi: KAM for quasi-linear autonomous NLS, preprint 2016.

[36] M. Guardia, Z. Hani, E. Haus, A. Maspero, M. Procesi: Instability of finite gap solutions for the NLS on T^2. to appear on J.E.M.S.

[37] R. Feola, F. Giuliani, M. Procesi: Quasi periodic solutions for Hamiltonian perturbations of the Degasperis-Procesi equation. Comm. Math. Phys 377(3), pp. 1681-1759

[38] L. Biasco, J. Massetti, M. Procesi:  Almost periodic invariant tori for the nonlinear Schrodinger equation. Annales de l'Institut Henri Poincare (C) 38(3), pp. 711-758

[39] Montalto, R., Procesi, M.   Linear Schrödinger equation with an almost periodic potential  SIAM Journal on Math. Analysis 53(1), pp. 386-434

[40]Corsi, L., Montalto, R., Procesi, M.    Almost-Periodic Response Solutions for a Forced Quasi-Linear Airy Equation
   Journal of Dynamics and Differential Equations 33(3), pp. 1231-1267
Invited speaker in international conferences:
-Trimester on Dynamical systems, Sissa Trieste sept.-dec ’03.
-Dynamical Systems: Classical, Quantum and Stochastic, Acireale sept. ’04.
-Integrable Systems, Cuernavaca (Mx) 9-16 nov. ’04
-AIMS’ Sixth International Conference on Dyn. Systems, Diff. Equations and Applications 25-28 june 2006.
-SPT2007 (Otranto 2-9 june 2007).
-Dynamics Days Europe, Loughborough (UK) 9-13 luglio 2007.
-Renormalization in dynamical systems Inst. Erwin Schrodinger Vienna october 2007.
-Summer School Hamiltonian PDE’s and Variational Methods, CAPRI, Villa Orlandi 8-12 sept. 2008.
-Indam-ERC intensive period: New connections between dynamical systems and Hamiltonian PDEs NAPOLI, April 1- June 6, 2009.
-Workshop on ”New connections between dynamical systems and Hamiltonian PDEs”, Capri October 15-16 2010.
-Workshop KAM theory and Cauchy problems for PDEs, 23-27 may 2011.
-Integrability and Physics, Conference in honour of Antonio Degasperis 70's birthday, La Sapienza, Rome, 25/03/2011.
-XIX Congresso UMI, Bologna, 12 settembre 2011.
-Mechanics: classical, statistical and quantum (in honor of the 70th birthday of Giovanni Gallavotti), La Sapienza, Rome, 2-5/07/2012.
-Nonlinear Hamiltonian PDEs, Ascona, July 1 - 6, 2012.
- Hamiltonian and Dispersive Equations CIRM Luminy 24-28 july 2013.
- Multiscale methods in Small Divisor problems. Maiori 16-20 Sept. 2013.
- "16th General Meeting of the European Women in Mathematics", Bonn (Germany), Sept. 2013- Plenary speaker.
-SPT 2014, Cala Gonone (Italy), May 2014.
-Geometric and Analytic Aspects of Integrable and nearly-Integrable Hamiltonian Systems ,
University of Milano-Bicocca (Italy), 18-20 June 2014
- Dynamics and PDEs, Cargese (Corsica, France) 11-14 November 2014.
- KAM and Dispersive Methods in PDEs, Milano (Italy) 1-5 December 2014.
- Two-day meeting in honor of Antonio Ambrosetti, Venezia (Italy) 14-15 December 2014.
- The Conference on Hamiltonian Dynamical Systems, Fudan University in Shanghai (China), 4-10 January 2015.
- "Sixth Itinerant Meeting in PDEs" Trieste, 14-16 January 2015.
- Summer school "Normal forms and large time behavior for nonlinear PDE", Nantes (France), 22 June-3 July 2015.
-SIAM Conference Analysis and PDEs, Scottsdale (USA), 7-10 Dec 2015
- Dynamics of Evolution Equations, CIRM -Luminy (France) March 21-25, 2016
- Dynamical Systems, Differential Equations and Applications Orlando July 1-5, 2016.
-Summer School Nonlinear Waves, IHES Paris (France) 18-29 July 2016,
-Dynamics and PDEs, Saint Etienne de Tinée (France), Feb. 2017.
Invited speaker for  Mini-courses 
- Dynamics and PDEs , S. Etienne de Tinée, 3-8 Fevrier 2013.
-Summer School Nonlinear Waves, IHES Paris (France) 18-29 July 2016.
 Workshop "dynamics of hamiltonian PDEs" La Thuile, Feb 2018
- Workshop “Variational Methods in analysis, geometry and physics” Pisa, Feb 2018
-Workshop on Quasi-periodic Dynamics and Schrödinger operators Nanjing 3-7 Set. 2018.
-Leaning tori (Scuola Normale Superiore, Pisa, 20-23 May 2019
-Invited speaker to the international Congress of Mathematical Physics  (section Dynamical systems) Geneva, 2-7 Aug 2021
-INdAM Workshop "Qualitative properties of dispersive PDEs", Roma 2-7 Sept. 2021
-Dynamics Days (Journées de Dynamique) at the University of Paris, Oct. 2021
-Invited speaker to Iternational Congress of Mathematics (section Dynamical systems)  July 2022
 

 
 Member of the organizing comittee of:
• Summer School Hamiltonian PDE’s and Variational Methods, CAPRI, Villa Orlandi
8-12 september 2008.
• Indam-ERC intensive period: New connections between dynamical systems and
Hamiltonian PDEs NAPOLI, April 1- June 6, 2009.
• Workshop on ”New connections between dynamical systems and Hamiltonian
PDEs”, October 15-16 2010.
• International Workshop on “KAM and Cauchy Theory for PDEs”, June 4-7 2012.
• School and Workshop “New perspectives in nonlinear PDEs”, September 17-29 2012.
• “Analysis and Dynamics, in occasion of Luigi Chierchia's 60th birthday” Patù, 12-15 ottobre 2017.

Member of the scientifc and organizing comittee: 
• Symmetry and perturbation theory SPT(2007) 2-9 june 2007.
• KAM theory and Cauchy problems for PDEs, school and workshop 17-27 may 2011.
• Workshop on Multiscale methods in Small Divisor problems. Maiori 16-20 Sept. 2013
• Roman Summer School and Workshop: KAM Theory and Dispersive PDEs. Rome 1-11 Sept. 2014
• Hamiltonian Dynamics PDEs and Waves on the Amalfi coast, Maiori 5-11 Sept. 2016

 

  STUDENTI


 
Undergraduate students:

Triennale:  (A  Sapienza) Jacopo Sbrolli (Fisica)Il teorema di Arnold-Liouville.
 
A Roma 3:
Gabriele Lioy (Fisica) Teoria delle biforcazioni e applicazioni al problema dei tre corpi.
Matteo Pandolfi (Matematica) La Trasformata di Fourier
Nicoletta Camerini (Matematica) Funzioni periodiche, serie di Fourier e applicazioni.


Magistrale:
Shulamit Terracina:Matematica) Riducibilita' per PDE con coefficienti quasi-periodici nel tempo.

PhD Students:


Roberto Feola (Sapienza)      Quasi-periodic solutions for fully nonlinear NLS

mentoring :  Elisa Magistrelli( Federico II), Filippo  Giuliani (SISSA) KAM for quasi-linear PDEs

Post-docs: Livia Corsi, Emanuele Haus, Alberto Maspero, Jessica Massetti, Shidi Zhou, Filippo Guliani, Stefano Pasquali.

Risultati principali

Nella mia tesi di laurea (nel campo delle equazioni integrabili), ho sviluppato un test (basato su espansioni asintotiche) per verificare l'integrabilità delle PDE in 1+1 dimensioni. Questo test è stato utilizzato con successo per scoprire una nuova equazione integrabile -l'equazione di Degasperis-Procesi (DP) che è ampiamente studiata per le sue applicazioni all'idrodinamica.

Nella tesi di dottorato ho lavorato sul problema dellao splitting omoclinica o della diffusione di Arnold. Ho usato principalmente le tecniche diagrammatiche sviluppate da Gallavotti e dal suo gruppo, Uno dei miei principali contributi in questo campo è stata la costruzione di una nuova quantità conservata, che mi ha permesso di dimostrare una congettura di lunga data di Gallavotti sulla matrice  di splitting in sistemi a priori stabili con più scale temporali.

PDE Hamiltoniane: i primi risultati (collaborazione con Gentile e Mastropietro) sono stati sull'esistenza di soluzioni periodiche per l'equazione d'onda completamente risonante in una dimensione . Questo lavoro ha posto le basi per l'applicazione della serie Lindstedt alle PDE.

Con Berti e Bolle ho proposto un algoritmo astratto di tipo Nash-Moser che si è dimostrato di notevole utilità per problemi di piccoli divisori nelle PDE. Ho dimostrato, con M. Berti, l'esistenza di soluzioni periodiche per NLS e NLW su una varietà compatta omogenea (o un gruppo di Lie compatto), piu' tardi con Berti e Corsi ho generalizzato tale ristultato a soluzioni quasi-periodiche. Si tratta ad ora dell'unico risultato di questo tipo su varieta' compatte che non siano tori o sfere.

Con C. Procesi [PP] ho dimostrato l'esistenza di forme normali integrabili approssimate per la NLS completamente risonante sul toro. La costruzione richiede una combinazione di metodi di  algebra, geometria algebrica e dinamica. Questo approccio algebro-combinatorio è un modo molto innovativo di studiare la geometria dell'insieme dei siti singolari che ci ha permesso di fornire un'analisi molto accurata della struttura della NLS e quindi dimostrare un risultato di riducibilità senza l'uso delle condizioni di Melnikov.

Con Berti e Biasco ho studiato esistenza e stabilita' di soluzioni quasi-periodiche per l'equazione delle onde con una derivata. Con Feola la NLS completamente nonlineare. Con Feola e Giuliani ho studiato l'approccio pseudo-differenziale per l'esistenza e stabilita' di soluzioni quasi-periodiche per la DP.




soluzioni almost-periodiche: ho studiato il problema della costruzione di tori infinito dimensionali
per NLS (sul cerchio) e collateralmente quello di introdurre schemi KAM in cui la condizione di
piccolezza non tenda a zero con il numero di frequenze. In particolare (con J. Massetti e L. Biasco)
ho dimostrato il primo risultato di esistenza di soluzioni almost-periodiche deboli per la NLS con
parametri esterni.
Con Corsi e Montalto ho studiato la KdV quasi-lineare forzata.
Soluzioni quasi-periodiche: Con R. Feola, F. Giuliani e R. Montalto in [8] abbiamo dimostrato la
riducibilita' di operatori del prim'ordine su tori di dimensione arbitraria. Questo ci ha permesso di
studiare l’equazione DP.

Forme Normali: Con Maspero, abbiamo dimostrato la riducibilita` e un passo di stabilita`
nonlineare delle finite gap solutions unidimensionale nella NLS su T^2. Ora stiamo considerando lo
stesso problema per generiche soluzioni quasi-periodiche. Parallelamente, con Massetti e Biasco, ho
dimostrato la stabilità non lineare vicino a zero per la NLS con parametri esterni sul cerchio, qui lo
scopo e’ di dare stime di tipo Nekoroshev (esponenziali o subesponenziali w.r.t la taglia del dato
iniziale) per i tempi di stabilità, sia nel caso di dati iniziali analitici che in classe Sobolev

Crescita delle norme di Sobolev: Un problema duale a quello della esistenza e stabilità di soluzioni
quasi- periodiche è quello di costruire soluzioni instabili in cui si trasferisce energia dai modi di
Fourier bassi a quelli alti. Il primo risultato in questa direzione è stato ottenuto dall'I-team per la
NLS cubica sul toro bidimensionale, con Haus e Guardia ho generalizzato tale risultato a NLS
qualsiasi. Usando il risultato di stabilità ottenuto con Maspero ho dimostrato con Haus, Maspero, Guardia
e Hani l’esistenza di orbite instabili per la NLS cubica su T^2 vicino alle finite gap solutions.
Questo é il primo passo nella direzione di costruire orbite instabili (la cui norma di Sobolev cresce
di un fattore arbitrariamente grande) vicino ai tori KAM della NLS, problema su cui stiamo
attivamente lavorando.