GE210 - Geometria e Algebra Lineare 2

Pagina delle esercitazioni, AA23/24

Esercitatore: Luca Schaffler

Ricevimento. Venerdì dalle 14:00 alle 16:00, o per appuntamento, nell'ufficio 0.04.

Esercitazione 1. (26/09/2023) Forme bilineari, matrice associata e rango, forme bilineari simmetriche e antisimmetriche, cambiamenti di base. Testo degli esercizi.

Esercitazione 2. (03/10/2023) Calcolo dell'ortogonale di un sottospazio vettoriale rispetto a una data forma bilineare simmetrica, vettori isotropi, rappresentazione unica di una forma bilineare come somma di una forma bilineare simmetrica e una antisimmetrica su un campo di caratteristica diversa da 2. Testo degli esercizi.

Esercitazione 3. (10/10/2023) Forma biliare polare di una forma quadratica, matrice associata e rango di una forma quadratica, diagonalizzazione di forme quadratiche, segnatura, forma canonica di Sylvester per una forma quadratica su \(\mathbb{R}\), matrici simmetriche definite positive, negative, e criterio dei minori principali. Testo degli esercizi.

Esercitazione 4. (17/10/2023) Ortogonalizzazione e ortonormalizzazione di un insieme di vettori rispetto ad un prodotto scalare assegnato, caratterizzazione delle matrici simmetriche semidefinite positive, discussione sulla decomposizione \(V=W\oplus W^\perp\) di uno spazio vettoriale euclideo \(V\) rispetto a un sottospazio \(W\). Testo degli esercizi.

Esercitazione 5. (24/10/2023) Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt e dipendenza lineare, prodotto vettoriale in \(\mathbb{R}^3\). Nel piano euclideo: distanza di un punto da una retta, ortogonalità e angolo convesso tra due rette. Testo degli esercizi.

Esercitazione 6. (31/10/2023) Geometria di rette e piani nello spazio euclideo 3-dimensionale: distanza di un punto da un piano, distanza di una retta da un piano parallelo ad essa, distanza tra due rette sghembe, retta ortogonale a due rette sghembe, angolo convesso tra due piani, angolo convesso tra un piano e una retta. Testo degli esercizi.

Preparazione primo esonero. (06/11/2023) Esercizi di ripasso per il primo esonero. Testo degli esercizi.

Esercitazione 7. (14/11/2023) Isometrie dirette, inverse, cambi di coordinate affini, traslazioni, rotazioni, e riflessioni nel piano euclideo. Testo degli esercizi.

Esercitazione 8. (21/11/2023) Operatori lineari simmetrici, Teorema Spettrale, forme hermitiane, diagonalizzazione di forme hermitiane. Testo degli esercizi.

Esercitazione 9. (28/11/2023) Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi lineari in spazio proiettivo, insiemi di punti linearmente dipendenti e indipendenti, punti in posizione generale, proiezione da un punto su un iperpiano di un punto dato, studio delle intersezioni di sottospazi tramite la formula di Grassmann proiettiva, la retta in \(\mathbb{P}^3\) passante per un punto e incidente a due rette sghembe. Testo degli esercizi.

Esercitazione 10. (12/12/2023) Trasformate di curve piane, chiusura proiettiva di una curva algebrica piana affine e punti impropri, classificazione delle coniche proiettive, coniche affini non degeneri, (semplicemente, doppiamente) degeneri. Testo degli esercizi.

Preparazione secondo esonero. (21/12/2023) Esercizi di ripasso per il secondo esonero. Testo degli esercizi.