logoromatre                          Anno Accademico 2021/2022

FM 310 - Istituzioni di Fisica Matematica
(CdL in Matematica)

Docente: Livia Corsi
Esercitazioni: Davide Ciaccia



Caratteristiche del corso

Contenuti
Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.
Programma d'esame

I Semestre - Crediti 9 CFU


Testi consigliati
L'insegnamento si basa essenzialmente sui testi 
[B] P. Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica

Per la parte di Meccanica quantistica, si e' fatto riferimento anche a
[B] A. Bohm, Quantum Mechanics - Foundations and Applications
[Co] M. Correggi, Aspetti Matematici della Meccanica Quantistica
[T] L. Takhtajan, Quantum Mechanics for Mathematicians

Si possono trovare esercizi riguardanti gli argomenti del corso sui testi
[A] L. Angelini, Meccanica Quantistica Pratica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[G] G. Gaeta, Esercizi sulle equazioni delle caratteristiche
[L2] V. Lubicz, Esecizi svolti di Meccanica Quantistica


Modalita' degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, eventualmente sostituita da due prove di esonero in itinere, e in un successivo colloquio orale,
in cui lo studente dovra' discutere gli argomenti trattati a lezione.

Orari

Lezioni: Martedi' ore 14:00-16:00 (Aula M4), Giovedi' ore 14:00-16:00 (Aula 00)
Esercitazioni: Mercoledi' ore 16:00-18:00 (Aula 009).
Orario di ricevimento: Mercoledi' ore 16:00-18:00 oppure per appuntamento.


Prove d'esonero e prove d'esame

Prove d'esonero
Esonero I: 8-11-2021 - Aula M2, ore 14:00-17:00 - testo - risultati
Esonero II: -11-1-2022 - Aula 009, ore 14:00-17:00 - testo - risultati

Prove d'esame
Appello I - 17-1-2022 - Aula 009, ore 14:00-17:00 - testo - risultati
Appello II - 14-2-2022 - Aula 009, ore 14:00-17:000
Appello III - 20-6-2022 - Aula 009, ore 14:00-17:00
Appello Laureandi - TBA
Appello IV - 5-9-2022 - Aula 009 ore 14:00-17:00




Diario delle lezioni

Lezione 1 (21-9)
 Introduzione alle PDE; l'esempio delle mappe conformi; l'operatore "Laplaciano"; dimostrazione dell'invarianza per rototraslazioni del Laplaciano.

Lezione 2 (23-9)
 Il metodo delle caratteristiche per l'equazione del trasporto in una dimensione; leggi di conservazione in una dimensione; derivazione microscopica dell'equazione delle onde (inizio).

Lezione 3 (28-9)
 Derivazione microscopica dell'equazione delle onde (fine). La Formula di D'Alembert: derivazione e prime proprieta'. Il cono di luce e il principio di Huygens.

Lezione 4 (30-9)
 Definizione di energia per l'equazione delle onde. Derivazione microscopica dell'energia come limite dell'energia di N oscillatori armonici. Unicita' della soluzione dell'equazione delle onde su R. Il principio di equipartizione dell'energia.

Lezione 5 (5-10)
 Equazione delle onde su R non-omogenea: il principio di Duhamel.

Lezione 6 (7-10)
 Dati al bordo; il metodo delle immagini per l'equazione delle onde sulla semiretta con dato di Dirichlet al bordo; l'equazione delle onde su un intervallo con dato di Dirichlet al bordo: lo spazio di Hilbert L^2_0([0,L]), la base - ortonormale - dei seni, e la riduzione dell'equazione delle onde a una famiglia di infiniti oscillatori armonici disaccoppiati.

Lezione 7 (12-10)
 Soluzione dell'equazione delle onde su un intervallo con dato di Dirichlet al bordo mediante serie di Fourier; la soluzione di D'Alembert mediante trasformata di Fourier. Dati al bordo non-omogenei come termini forzanti. L'equazione delle onde in R^n: introduzione e medie sferiche.

Lezione 8 (14-10)
 L'equazione delle onde in R^n; la formula di Kirchhoff nel caso n=3; discussione del caso n dispari.

Lezione 9 (19-10)
 Processi di diffusione: l'equazione del calore su R;  invarianza delle soluzioni per riscalamento Browniano; soluzione mediante trasformata di Fourier; proprieta' del nucleo del calore.

Lezione 10 (21-10)
 Operatori di convoluzione; il principio del massimo; unicita' della soluzione dell'equazione del calore (dimostrazione sbagliata di proposito).

Lezione 11 (26-10)
 Il principio del massimo su R; unicita' della soluzione dell'equazione del calore (dimostrazione corretta) nello spazio delle funzioni limitate. Non unicita' delle soluzioni illimitate (esempio di Tychonoff).

Lezione 12 (28-10)
 Equazione del calore sulla semiretta R ; il caso forzato: principio di Duhamel; identita' di Green; calore su dominio limitato (inizio).

Lezione 13 (2-11)
 Equazione del calore su dominio limitato (fine); convergenza della soluzione al dato iniziale in norma L^2 per t->0. Interpretazione probabilistica dell'equazione del calore: momenti k-esimi della soluzione (inizio).

Lezione 14 (4-11)
 Risoluzione di alcuni esercizi; momenti k-esimi della soluzione dell'equazione del calore (fine); stime a priori della soluzione dell'equazione del calore in L^2 e in L^1

Lezione 15 (16-11)
L'entropia assoluta e l'entropia relativa.

Lezione 16 (18-11)
L'equazione del calore come sistema gradiente; stati stazionari.

Lezione 17 (23-11)
L'equazione delle onde come sistema hamiltoniano; l'equazione del calore su domini in R^n e stati stazionari. L'equazione di Laplace: formule di Green.

Lezione 18 (25-11)
L'equazione di Laplace: principio del massimo. La trasformata di Fourier; definizione della trasformata e dell'antitrasformata su spazi di Schwartz e loro proprieta'.

Lezione 19 (30-11)
La trasformata e l'antitrasformata di Fourier sono continue sullo spazio di Schwartz; densita' di C^\infty_c nello spazio di Schwartz; teorema di inversione della trasformata di Fourier

Lezione 20 (2-12)
Estensione della trasformata di Fourier su L^2; teorema di Plancherel. Introduzione alla meccanica quantistica: crisi della meccanica classica e assiomi della meccanica quantistica.

Lezione 21 (7-12)
Principio di sovrapposizione degli stati quantistici; operatori unitari e cambi di coordinate; il principio di indeterminazione. Operatore di posizione e operatore di traslazione infinitesima e l'operatore momento.

Lezione 22 (9-12)
Relazioni di commutazione tra posizioni e momenti; operatore hamiltoniano e stati stazionari. La particella libera. La buca di potenziale infinita.

Lezione 23 (14-12)
La buca di potenziale finita. L'operatore di parita'. L'oscillatore armonico; operatori di creazione e distruzione.

Lezione 24 (16-12)
L'operatore numero; conclusione della discussione sull'oscillatore armonico: i polinomi di Hermite. L'equazione di Heisenberg: collegamento con le equazioni di Hamilton. Simmetrie e costanti del moto (teorema di Noether).

Lezione 25 (21-12)
L'atomo d'idrogeno; il problema dei due corpi e il moto in un campo centrale: moto del centro di massa e moto relativo. Rotazioni e momento angolare orbitale.

Lezione 26 (23-12)
Il potenziale coulombiano e l'equazione radiale: soluzione per serie.



Diario delle esercitazioni (DC, salvo quando espressamente indicato)

LC - Esercitazione 1 (22-9)
 Classificazione delle PDE; l'equazione del trasporto in una dimensione; definizione della trasformata di Fourier; risoluzione dell'equazione del trasporto mediante trasformata di Fourier nel caso in cui la velocita' di trasporto non dipende dalla variabile spaziale.

LC - Esercitazione 2 (29-9)
 Esercizi ed esempi sul metodo delle caratteristiche.

Esercitazione 3 (6-10)
 Esercizi 2.9 e 2.10 di [Cr]; il metodo di separazione di variabili per l'equazione delle onde su un intervallo con dati di Dirichlet al bordo.

LC - Esercitazione 4 (13-10)
 Esercizi ed esempi sull'equazione delle onde.

Esercitazione 5 (20-10)
 Esercizi 2.12 e 6.5 e 6.2 di [Cr]; principio di Huygens in R^3 con interpretazione geometrica.

LC - Esercitazione 6 (27-10)
 Esercizi ed esempi sull'equazione del calore.

Esercitazione 8 (3-11)
 Esercizio sull'equazione delle onde su R con termine forzante; conclusionde degli esercizi 6.2 e 6.5 di [Cr]; esercizi 3.6, 3.8 e 3.12 di [Cr].

LC - Esercitazione 9 (17-11)
 Correzione del primo esonero.

Esercitazione 10 (24-11)
 Laplaciano in coordinate polari; soluzioni fondamentali dell'equazione di Laplace in dimensione 2; equazione di Laplace sul disco e sul rettangolo.

LC - Esercitazione 11 (1-12)
 Esercizi ed esempi sull'equazione di Laplace.

Esercitazione 12 (15-12)
 Esercizio 1 di [L2]; la barriera di potenziale e l'effetto tunnel.

Esercitazione 13 (12-12)
 Esercizi 6 e 7 di [L2].