Anno Accademico 2022/2023FM 310 - Istituzioni di Fisica Matematica
(CdL in Matematica)
Docente: Livia Corsi
Caratteristiche del corso
Contenuti
Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.
Programma d'esame
I Semestre - Crediti 9 CFU
Testi consigliati
L'insegnamento si basa essenzialmente sui testi
[B]
P.
Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr]
W.
Craig, A course on Partial Differential Equations
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica
[L1] V. Lubicz, Apppunti di Meccanica Quantistica
Per
la
parte di Meccanica quantistica, si e' fatto riferimento
anche a
[B]
A.
Bohm, Quantum Mechanics - Foundations and Applications
[Co] M. Correggi, Aspetti Matematici della Meccanica Quantistica
[Co] M. Correggi, Aspetti Matematici della Meccanica Quantistica
[T]
L.
Takhtajan, Quantum Mechanics for Mathematicians
Si
possono
trovare esercizi riguardanti gli argomenti del corso sui
testi
[A]
L.
Angelini, Meccanica Quantistica Pratica
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[G]
G.
Gaeta, Esercizi sulle equazioni delle caratteristiche
[L2]
V.
Lubicz, Esecizi svolti di Meccanica Quantistica
Modalita' degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, eventualmente sostituita da due prove di esonero in itinere, e in un successivo colloquio orale,
in cui lo studente dovra' discutere gli argomenti trattati a lezione.
Orari
Lezioni: Lunedi' ore 16:00-18:00 (Aula M4), Martedi' ore 17:00-19:00 (Aula 009), Giovedi' ore 16:00-18:00 (Aula M4)
Orario di ricevimento: per appuntamento.
Prove d'esonero e prove d'esame
Prove d'esonero
Esonero I: 8-11-2022, ore 14:00, aula M1, testo
Esonero II: 11-1-2023, ore 14:00, aula M1, testo
Prove d'esame
Appello I: NA
Appello II: 6-2-2022, ore 14:00, aula M1, testo
Appello III: TBA
Appello Laureandi: TBA
Appello IV: TBA
Diario delle lezioni
Lezione 1 (19-9)
Introduzione alle PDE; l'esempio delle mappe conformi; l'operatore "Laplaciano"; dimostrazione dell'invarianza per rototraslazioni del Laplaciano.
Lezione
2 (21-9)
Classificazione delle PDE; l'equazione del trasporto in una dimensione; definizione della trasformata di Fourier; risoluzione dell'equazione del trasporto
Classificazione delle PDE; l'equazione del trasporto in una dimensione; definizione della trasformata di Fourier; risoluzione dell'equazione del trasporto
mediante trasformata
di Fourier nel caso in cui la velocita' di trasporto non dipende dalla
variabile spaziale.
Lezione 3 (22-9)
Il metodo delle caratteristiche per l'equazione del trasporto in una dimensione; leggi di conservazione in una dimensione; derivazione microscopica dell'equazione delle onde.
Lezione
4 (27-9)
Lezione 5 (29-9)
Lezione 6 (3-10)
Lezione 7 (4-10)
Lezione 8 (6-10)
L'equazizone delle onde su R^n: medie sferiche ed equazione di Euler-Poisson-Darboux; il caso n=3 (inizio).
Lezione 9 (10-10)
Esercizi: condizioni di Robin al bordo; derivazione microscopica dell'equazione delle onde su R^2.
Lezione 10 (11-10)
L'equazione delle onde su R^n: la formula di Kirchhoff nel caso n=3 e discussione del caso n dispari. Esercizi: onde in R^2 a partire dalla formula di
Lezione 11 (13-10)
Esercizi: conservazione dell'energia per l'equazione di Klein-Gordon
Lezione 12 (17-10)
Esercizi: soluzioni a simmetria radiale su R^n
Lezione 13 (18-10)
Esercizi: struttura Hamiltoniana dell'equazione delle onde, soluzione globale di un'equazione delle onde nonlineare speciale
Lezione 14 (20-10)
Processi di diffusione: l'equazione del calore su R; invarianza delle soluzioni per riscalamento Browniano; soluzione mediante trasformata di Fourier;
Lezione 18 (31-10)
Esercizi.
Lezione 19 (3-11)
Esercizi.
Lezione 20 (14-11)
Interpretazione probabilistica dell'equazione del calore: momenti k-esimi della soluzione.
Lezione 21 (15-11)
L'equazione del calore come sistema gradiente; stati stazionari..
Lezione 24 (22-11)
Trasformata e antitrasformata di Fourier in spazi di Schwartz; densita' dello spazio di Schwartz i L^2; teorema di inversione della trasformata di Fourier i L^2
Lezione 25 (24-11)
Esercizi.
Lezione 26 (29-11)
La
Formula di D'Alembert, derivazione e prime proprieta': il cono di
luce e il principio di Huygens. Definizione dell'energia e unicita'
della soluzione dell'equazione delle onde su R.
Lezione 5 (29-9)
Derivazione
microscopica dell'energia come limite dell'energia di N
oscillatori armonici. Principio di equipartizione dell'energia.
Equazione delle onde
su
R non-omogenea: il principio di Duhamel. La soluzione di
D'Alembert mediante trasformata di Fourier.
Lezione 6 (3-10)
Dati
al bordo; il metodo delle immagini per l'equazione delle onde
sulla semiretta con dato di Dirichlet al bordo; l'equazione
delle onde su un intervallo
con
dato di Dirichlet al bordo: lo spazio di Hilbert L^2_0([0,L]),
la base - ortonormale - dei seni e la riduzione dell'equazione a
una famiglia di infiniti
oscillatori
armonici disaccoppiati: soluzione mediante serie di Fourier.
Lezione 7 (4-10)
Separazione
di variabili; dati al bordo non omogenei; alcuni esempi.
Lezione 8 (6-10)
L'equazizone delle onde su R^n: medie sferiche ed equazione di Euler-Poisson-Darboux; il caso n=3 (inizio).
Lezione 9 (10-10)
Esercizi: condizioni di Robin al bordo; derivazione microscopica dell'equazione delle onde su R^2.
Lezione 10 (11-10)
L'equazione delle onde su R^n: la formula di Kirchhoff nel caso n=3 e discussione del caso n dispari. Esercizi: onde in R^2 a partire dalla formula di
Kirchhoff;
onde in [0,L] con condizioni miste al bordo.
Lezione 11 (13-10)
Esercizi: conservazione dell'energia per l'equazione di Klein-Gordon
Lezione 12 (17-10)
Esercizi: soluzioni a simmetria radiale su R^n
Lezione 13 (18-10)
Esercizi: struttura Hamiltoniana dell'equazione delle onde, soluzione globale di un'equazione delle onde nonlineare speciale
Lezione 14 (20-10)
Processi di diffusione: l'equazione del calore su R; invarianza delle soluzioni per riscalamento Browniano; soluzione mediante trasformata di Fourier;
prime
proprieta' del nucleo del calore.
Lezione
15 (24-10)
Operatori di convoluzione; il principio del massimo; unicita' della soluzione dell'equazione del calore (dimostrazione sbagliata di proposito).
Operatori di convoluzione; il principio del massimo; unicita' della soluzione dell'equazione del calore (dimostrazione sbagliata di proposito).
Lezione
16 (25-10)
Il principio del massimo su R; unicita' della soluzione dell'equazione del calore (dimostrazione corretta) nello spazio delle funzioni limitate.
Il principio del massimo su R; unicita' della soluzione dell'equazione del calore (dimostrazione corretta) nello spazio delle funzioni limitate.
Non
unicita' delle soluzioni illimitate (esempio di Tychonoff).
Lezione
17 (27-10)
Equazione del calore sulla semiretta R ; il caso forzato: principio di Duhamel; identita' di Green; calore su dominio limitato.
Equazione del calore sulla semiretta R ; il caso forzato: principio di Duhamel; identita' di Green; calore su dominio limitato.
Lezione 18 (31-10)
Esercizi.
Lezione 19 (3-11)
Esercizi.
Lezione 20 (14-11)
Interpretazione probabilistica dell'equazione del calore: momenti k-esimi della soluzione.
Lezione 21 (15-11)
L'equazione del calore come sistema gradiente; stati stazionari..
Lezione
22 (17-11)
Esempio: stati stazioari d'ellequazione del calore con termine lineare limitato. Equazione del calore in dimensione maggiore di uno: stati stazionari ed equazione di Laplace in R^2 sul disco e sul quadrato
Esempio: stati stazioari d'ellequazione del calore con termine lineare limitato. Equazione del calore in dimensione maggiore di uno: stati stazionari ed equazione di Laplace in R^2 sul disco e sul quadrato
Lezione
23 (21-11)
Formule di Green e principio del massimo. Spazi di Schwartz e loro proprieta'.
Formule di Green e principio del massimo. Spazi di Schwartz e loro proprieta'.
Lezione 24 (22-11)
Trasformata e antitrasformata di Fourier in spazi di Schwartz; densita' dello spazio di Schwartz i L^2; teorema di inversione della trasformata di Fourier i L^2
Lezione 25 (24-11)
Esercizi.
Lezione 26 (29-11)
Trasformata
e antitrasformata di Fourier in L^1: soluzione dell'equazione del
calore in L^1
Lezione 27 (30-11)
Lezione 28 (1-12)
Lezione 29 (2-12)
Lezione 30 (5-12)
Lezione 31 (6-12)
Lezione
33 (13-12)
Lezione 35 (19-12)
Lezione 27 (30-11)
Introduzione
alla meccanica quantistica:
crisi della meccanica classica e assiomi della meccanica
quantistica. Principio di sovrapposizione;
operatori unitari e cambi di coordinate; il principio di
indeterminazione.
Lezione 28 (1-12)
Operatore
di posizione e operatore di traslazione infinitesima;
operatore momento. Relazioni
di commutazione tra posizioni e momenti; operatore
hamiltoniano: la particella libera.
Lezione 29 (2-12)
Operatore
hamiltoniano e stati stazionari. Buca di potenziale
infinita e finita. L'operatore di parita'.
Lezione 30 (5-12)
L'oscillatore
armonico: operatori di creazione e distruzione,
operatore numero.
Soluzione in termini di polinomi di Hermite.
Lezione 31 (6-12)
Esercizi.
Lezione
32 (12-12)
Esercizi.
Esercizi
Lezione
34 (15-12)
L'atomo
d'idrogeno:
il problema dei due corpi e il moto in un campo
centrale, moto del centro di massa e moto relativo.
Rotazioni e momento angolare orbitale.
Lezione 35 (19-12)
Esercizi.
Lezione
36 (20-12)
L'atomo
d'idrogeno:
potenziale
coulombiano e l'equazione radiale. Soluzione per serie.