LUCA BATTAGLIA - PAGINA PERSONALE



PER GLI STUDENTI DI ROMA TRE INTERESSATI A PDE ELLITTICHE


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Corso di AM310 - Istituzioni di Analisi Superiore (Università degli Studi Roma Tre - A.A. 2021-22)


PRIMO DEI TRE FOGLI DI ESERCIZI DA CONSEGNARE PER L'ESAME.


Programma di massima:

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali e della misura di Lebesgue.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto, teoremi di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi Lp, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.


Diario delle lezioni e programma definitivo:

Lezioni 1-2 (21/09/2021): Introduzione al corso; esempio di insieme non misurabile; sigma-algebre, sigma-algebre generate da una famiglia di insiemi, esempi (a cura del Prof. Pierpaolo Esposito).

Lezioni 3-4 (23/09/2021): Sigma-algebra di Borel su uno spazio metrico; sigma-algebre prodotto; sigma-algebra di Borel su R e RN (a cura del Prof. Pierpaolo Esposito).

Lezioni 5-6 (24/09/2021): Famiglie di insiemi elementari; misure, proprietà fondamentali (a cura del Prof. Pierpaolo Esposito).

Lezioni 7-8 (28/09/2021): Misure complete, completamento di una misura; misure esterne, misure esterne generate da famiglie elementari, Teorema di Carathéodory (a cura del Prof. Pierpaolo Esposito).

Lezioni 9-10 (30/09/2021): Pre-misure, estensione alla sigma-algebra generata da un'algebra; misura di Borel associata a una funzione crescente continua da destra (a cura del Prof. Pierpaolo Esposito).

Lezioni 11-12 (01/10/2021): Pre-misure su unioni finite di intervalli, costruzione di misure di Borel (a cura del Prof. Pierpaolo Esposito).

Lezioni 13-14 (05/10/2021): Approssimazione con aperti e compatti per misure di Lebesgue-Stieltjes, caratterizzazione degli insiemi misurabili.

Lezioni 15-16 (07/10/2021): Misura di Lebesgue su R, proprietà fondamentali; insieme di Cantor, proprietà funzioni misurabili, proprietà.

Lezioni 17-18 (08/10/2021): Misurabilità di somme, prodotti, estremi superiori e inferiori; funzioni semplici, teorema di approssimazione; funzione di Cantor.

Lezioni 19-20 (12/10/2021): Integrale di una funzione semplice positiva, proprietà integrale di una funzione misurabile positiva; Teorema della convergenza monotona, corollari.

Lezioni 21-22 (14/10/2021): Integrale rispetto a misura del conteggio; esercizio su Teorema della Convergenza Monotona; proprietà valide quasi ovunque; Lemma di Fatou.

Lezioni 23-24 (15/10/2021): Integrale di funzioni di segno qualunque, proprietà approssimazione con funzioni semplici e continue; Teorema della convergenza dominata.

Lezioni 25-26 (19/10/2021): Corollario del Teorema della convergenza dominata, esempi; Teorema di continuità e derivazione sotto integrale, esempi.

Lezioni 27-28 (21/10/2021): Relazione tra integrale di Riemann e misura di Lebesgue, esempi; convergenza in media e in misura, esempi.

Lezioni 29-30 (22/10/2021): Relazione tra convergenze in media, in misura e quasi ovunque; convergenza quasi uniforme, Teorema di Egoroff.

Lezioni 31-32 (26/10/2021): Misure prodotto, lemma della classe monotona, Teorema di Fubini-Tonelli.


Orario delle lezioni:

Martedì ore 12-14, Giovedì ore 10-12, Venerdì ore 8-10, aula 009.


Orario di ricevimento:

Studio 202 (palazzina C) oppure online su Microsoft Teams, per appuntamento.


Modalità di esame:

Consegna degli esercizi assegnati (Prima di tre assegnazioni) e prova orale.


Esami:

Appello A: Lunedì 17 Gennaio 2022, ore 10-13.
Appello B: Lunedì 31 Gennaio 2022, ore 10-13.
Appello C: Lunedì 13 Giugno 2022, ore 10-13.
Appello X: Lunedì 29 Agosto 2022, ore 10-13.


Testi consigliati:

Gerald B. Folland - Real Analysis - Wiley (1999).