LUCA BATTAGLIA - PAGINA PERSONALE

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Corso di AM310 - Istituzioni di Analisi Superiore (Università degli Studi Roma Tre - A.A. 2021-22)

Programma di massima:

Teoria della misura, misure esterne, costruzione di misure di Borel sui reali e della misura di Lebesgue.
Teoria dell'integrazione, teoremi di passaggio al limite, convergenza in media e in misura, integrazione sugli spazi prodotto, teoremi di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue.
Misure di Radon, regolarità, funzionali lineari positivi sulle funzioni continue, Teorema di rappresentazione di Riesz.
Misure con segno, teoremi di decomposizione, differenziazione di misure, funzioni a variazione limitata, Teorema fondamentale del calcolo.
Spazi L^p, proprietà di base, spazi duali, teoremi di densità.

Diario delle lezioni e programma definitivo:

Lezioni 1-2 (21/09/2021): Introduzione al corso; esempio di insieme non misurabile; sigma-algebre, sigma-algebre generate da una famiglia di insiemi, esempi (a cura del Prof. Pierpaolo Esposito).

Lezioni 3-4 (23/09/2021): Sigma-algebra di Borel su uno spazio metrico; sigma-algebre prodotto; sigma-algebra di Borel su R e R^N (a cura del Prof. Pierpaolo Esposito).

Lezioni 5-6 (24/09/2021): Famiglie di insiemi elementari; misure, proprietà fondamentali (a cura del Prof. Pierpaolo Esposito).

Lezioni 7-8 (28/09/2021): Misure complete, completamento di una misura; misure esterne, misure esterne generate da famiglie elementari, Teorema di Carathéodory (a cura del Prof. Pierpaolo Esposito).

Lezioni 9-10 (30/09/2021): Pre-misure, estensione alla sigma-algebra generata da un'algebra; misura di Borel associata a una funzione crescente continua da destra (a cura del Prof. Pierpaolo Esposito).

Lezioni 11-12 (01/10/2021): Pre-misure su unioni finite di intervalli, costruzione di misure di Borel (a cura del Prof. Pierpaolo Esposito).

Lezioni 13-14 (05/10/2021): Approssimazione con aperti e compatti per misure di Lebesgue-Stieltjes, caratterizzazione degli insiemi misurabili.

Lezioni 15-16 (07/10/2021): Misura di Lebesgue su R, proprietà fondamentali; insieme di Cantor, proprietà; funzioni misurabili, proprietà.

Lezioni 17-18 (08/10/2021): Misurabilità di somme, prodotti, estremi superiori e inferiori; funzioni semplici, teorema di approssimazione; funzione di Cantor.

Lezioni 19-20 (12/10/2021): Integrale di una funzione semplice positiva, proprietà; integrale di una funzione misurabile positiva; Teorema della convergenza monotona, corollari.

Lezioni 21-22 (14/10/2021): Integrale rispetto a misura del conteggio; esercizio su Teorema della convergenza monotona; proprietà valide quasi ovunque; Lemma di Fatou.

Lezioni 23-24 (15/10/2021): Integrale di funzioni di segno qualunque, proprietà; approssimazione con funzioni semplici e continue; Teorema della convergenza dominata.

Lezioni 25-26 (19/10/2021): Corollario del Teorema della convergenza dominata, esempi; Teorema di continuità e derivazione sotto integrale, esempi.

Lezioni 27-28 (21/10/2021): Relazione tra integrale di Riemann e misura di Lebesgue, esempi; convergenza in media e in misura, esempi.

Lezioni 29-30 (22/10/2021): Relazione tra convergenze in media, in misura e quasi ovunque; convergenza quasi uniforme, Teorema di Egoroff.

Lezioni 31-32 (26/10/2021): Misure prodotto, lemma della classe monotona, Teorema di Fubini-Tonelli.

Lezioni 33-34 (28/10/2021): Dimostrazione del Teorema di Fubini-Tonelli; misura di Lebesgue in R^N, proprietà.

Lezioni 35-36 (29/10/2021): Teorema di cambio di variabile per l'integrale di Lebesgue.

Lezioni 37-38 (02/11/2021): Fine dimostrazione del Teorema di cambio di variabile; coordinate polari in R^N, esempi.

Lezioni 39-40 (04/11/2021): Dimostrazione della formula di coordinate polari; misure regolari e di Radon su uno spazio metrico; funzioni a supporto compatto e nulle all'infinito.

Lezioni 41-42 (16/11/2021): Funzionali lineari positivi; Teorema di Riesz, esempi.

Lezioni 43-44 (18/11/2021): Fine dimostrazione del Teorema di Riesz, corollario; Teorema di Lusin.

Lezioni 45-46 (19/11/2021): Dimostrazione del Teorema di Lusin; misure con segno, esempi; Teorema di decomposizione di Hahn.

Lezioni 47-48 (23/11/2021): Dimostrazione del Teorema di decomposizione di Hahn; Teorema di decomposizione di Jordan, variazione positiva, negativa e totale, esempi.

Lezioni 49-50 (25/11/2021): Misure con segno di Radon; Spazi duali; Teorema di Riesz per misure con segno.

Lezioni 51-52 (26/11/2021): Misure assolutamente continue, esempi; Teorema di Radon-Nikodym, decomposizione di Lebesgue, derivata di Radon-Nikodym.

Lezioni 53-54 (30/11/2021): Corollari del Teorema di Radon-Nikodym; Differenziazione di misure, media di funzione su una palla, funzione massimale di Hardy-Littlewood, proprietà.

Lezioni 55-56 (02/12/2021): Teorema di differenziazione di Lebesgue, generalizzazioni; proprietà delle funzioni crescenti.

Lezioni 57-58 (03/12/2021): Funzioni a variazione limitata, esempi, proprietà.

Lezioni 59-60 (07/12/2021): Funzioni a variazione limitata normalizzate, legame con le misure con segno di Borel; funzioni assolutamente continue, esempi.

Lezioni 61-62 (09/12/2021): Proprietà delle funzioni assolutamente continue, Teorema fondamentale del calcolo; Spazi L^p, proprietà.

Lezioni 63-64 (10/12/2021): Proprietà degli spazi L^p, relazione tra gli spazi L^p e L^infinito; disuguaglianze di Hölder e Jensen.

Lezioni 65-66 (14/12/2021): Disuguaglianza di Minkowski; completezza degli spazi L^p; esempi.

Lezioni 67-68 (16/12/2021): Inclusioni tra gli spazi L^p; densità negli spazi L^p.

Lezioni 69-70 (17/12/2021): Separabilità degli spazi L^p; caratterizzazione della norma L^p, esempi.

Lezioni 71-72 (21/12/2021): Duale degli spazi L^p, dimostrazione.

Orario delle lezioni:

Martedì ore 12-14, Giovedì ore 10-12, Venerdì ore 8-10, aula 009.

Orario di ricevimento:

Studio 202 (palazzina C) oppure online su Microsoft Teams, per appuntamento.

Modalità di esame:

Consegna degli esercizi assegnati (Prima, seconda e terza assegnazione) e prova orale.

Esami:

Appello A: Lunedì 17 Gennaio 2022, ore 10-13.
Appello B: Lunedì 31 Gennaio 2022, ore 10-13.
Appello C: Lunedì 13 Giugno 2022, ore 10-13.
Appello X: Lunedì 29 Agosto 2022, ore 10-13.

Testi consigliati:

Gerald B. Folland - Real Analysis - Wiley (1999).