Superfici di Riemann

Programma preliminare del corso: Definizione di superficie di Riemann come varieta' complessa di dimensione 1 ed esempi. Funzioni olomorfe e meromorfe. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann: proprietà locali, ramificazione e diramazione, grado, Formula di Hurwitz. Forme differenziali e operazioni tra forme differenziali. Integrazione su superfici di Riemann: Teorema di Stoke e Teorema dei Residui. Il gruppo Div(X) dei divisori su una superfie di Riemann X. Il divisore principale associato a una fuznione meromorfa. Il divisore canonico associato a una 1-forma meromorfa. Grado dei divisori su superfici di Riemann compatte. Equivalenza lineare di divisori. I divisori sulle curve proiettive piane: formula di Bezout. Applicazione: la formula di Plucker per il genere delle curve proiettive piane. Spazi di funzioni associati a divisori: lo spazio L(D) e sue proprieta'. Il sistema lineare completo |D| associato a L(D). Spazi di 1-forme associati a divisori: lo spazio L^1(D) e sue proprieta'. Isomorfismo L(D+K)≅L^1(D), per un divisore canonico K. Mappe olomorfe verso spazi proiettivi e sistemi lineari senza punti base. Immersione in spazi proiettivi e sistemi lineari molto ampi. Curve proiettive lisce e loro proprieta'. Teorema di Riemann-Roch. Le tre interpretazioni del genere: genere topologico, g=dim(Ω^1X) e g=deg(K)/2+1. Applicazioni: ogni divisore di grado almeno 2g (risp. 2g+1) e' senza punti base (risp. molto ampio); ogni superficie di Riemann compatta di genere 0 e' isomorfa alla retta proiettiva; ogni superficie di Riemann di genere uno e' isomorfa ad una cubica piana liscia. Il sistema lineare canonico e' senza punti base se il genere e' positivo e molto ampio per superfici di Riemann non iperellittiche. La mappa canonica per X sup. di Riemann di genere almeno due: e' un'immersione olomorfa se X non e' iperellittica e un mappa di grado due su una curva razionale normale se X e' iperellittica. Forma geometrica del Teorema di Riemann-Roch per sup. di Riemann non iperellittiche.

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Superfici di Riemann Diario delle lezioni Ricevimento: previo appuntamento. Programma preliminare del corso: Definizione di superficie di Riemann come varieta' complessa di dimensione 1 ed esempi. Funzioni olomorfe e meromorfe. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann: proprietà locali, ramificazione e diramazione, grado, Formula di Hurwitz. Forme differenziali e operazioni tra forme differenziali. Integrazione su superfici di Riemann: Teorema di Stoke e Teorema dei Residui. Il gruppo Div(X) dei divisori su una superfie di Riemann X. Il divisore principale associato a una fuznione meromorfa. Il divisore canonico associato a una 1-forma meromorfa. Grado dei divisori su superfici di Riemann compatte. Equivalenza lineare di divisori. I divisori sulle curve proiettive piane: formula di Bezout. Applicazione: la formula di Plucker per il genere delle curve proiettive piane. Spazi di funzioni associati a divisori: lo spazio L(D) e sue proprieta'. Il sistema lineare completo \|D\| associato a L(D). Spazi di 1-forme associati a divisori: lo spazio L^1(D) e sue proprieta'. Isomorfismo L(D+K)≅L^1(D), per un divisore canonico K. Mappe olomorfe verso spazi proiettivi e sistemi lineari senza punti base. Immersione in spazi proiettivi e sistemi lineari molto ampi. Curve proiettive lisce e loro proprieta'. Teorema di Riemann-Roch. Le tre interpretazioni del genere: genere topologico, g=dim(Ω^1X) e g=deg(K)/2+1. Applicazioni: ogni divisore di grado almeno 2g (risp. 2g+1) e' senza punti base (risp. molto ampio); ogni superficie di Riemann compatta di genere 0 e' isomorfa alla retta proiettiva; ogni superficie di Riemann di genere uno e' isomorfa ad una cubica piana liscia. Il sistema lineare canonico e' senza punti base se il genere e' positivo e molto ampio per superfici di Riemann non iperellittiche. La mappa canonica per X sup. di Riemann di genere almeno due: e' un'immersione olomorfa se X non e' iperellittica e un mappa di grado due su una curva razionale normale se X e' iperellittica. Forma geometrica del Teorema di Riemann-Roch per sup. di Riemann non iperellittiche. Testo consigliato: Rick Miranda: "Algebraic curves and Riemann Surfaces". Modalita' di apprendimento: Lezioni frontali, esercizi proposti. Modalita' d'esame: esercizi e orale. Materiale didattico: Tutto il materiale didattico verra' caricato sul canale teams del corso.