diario Superfici di Riemann

Diario delle lezioni GE470 A.A. 2025-2026:

24/02/2026 (1-2): Introduzione al corso. Carte complesse, atlanti e strutture complesse. Definizione di Superficie di Riemann. Esempi: la sfera di Riemann, P^1(C), tori complessi.
26/02/2026 (3-4): Ogni superficie di Riemann è omeorfa a una ciambella con g buchi. Altri esempi di superfici di Riemann: curve piane lisce affini e proiettive. Funzioni olomorfe su un aperto di una superficie di Riemann.
27/02/2026 (5-6): Esempi di funzioni olomorfe su un aperto della sfera di Riemann, di P^1(C), di un toro compplesso, di una curva piana liscia o proiettiva. Funzioni meromorfe su un aperto di una superficie di Riemann: definizione e sviluppo in serie di Laurant intorno a un punto rispetto a una carta locale. Ordine di una funzione meromorfa in un punto. La somma degli ordini in tutti i punti della sfera di Riemann di una funzione razionale è nulla.
03/03/2026 (7-8): Teoremi sulle funzioni meromorfe che seguono da analisi complessa (discretezza degli zeri e dei poli, principio di identità e massimo modulo), una funzione su una superficie di Riemann compatta ovunque olomorfa e' costante. Ogni funzione meromorfa sulla sfera di Riemann e' una funzione razionale e,analogamente, ogni funzione meromorfa su P^1(C) e' quoziente di due polinomi omogenei dello stesso grado. Curve lisce proiettive. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann: definizione, proprietà, esempi. Isomorfismo tra la sfera di Riemann e P^1(C) (esercizio).
05/03/2026 (9-10): Corrispondenza biettiva tra le funzioni meromorfe di una superficie di Riemann X e le mappe olomorfe da X alla sfera di Riemann. Pullback di funzioni olomorfe e meromorfe tramite una mappa olomorfa di superfici di Riemann. Forma locale normale di una mappa olomorfa e molteplicità in un punto. Punti di ramificazione e di diramazione.
06/03/2026 (11-12): Come calcolare la molteplicita' di una mappa olomorfa in un punto. Esempi: proiezione di una curva piana, molteplicita' di una mappa olomorfa da X in P^1(C) in un punto P in termini dell'ordine in P della corrispondente funzione meromorfa su X. Grado di una mappa olomorfa non costante. Una superficie di Riemann compatta che ammette una funzione meromorfa con un solo polo semplice e' isomorfa alla sfera di Riemann. Se X e' compatta, la somma degli ordini in tutti i punti di X di una funzione meromorfa su X e' nulla.
10/03/2026 (13-14): Caratteristica di Eulero e trangolazioni, genere di una superficie di Riemann compatta. Formula di Hurwitz. Costruzione di superfici di Riemann iperellittiche.
12/03/2026 (15-16): Funzioni meromorfe su superfici di Riemann iperellittiche. Ogni toro complesso e' isomorfo a un toro con reticolo generato da 1 e da un numero complesso \tau con parte immaginaria positiva. Definizione della funzione theta e dimostrazione della convergenza assoluta e uniforme sui compatti della serie che la definisce. Quasiperiodicita' della funzione theta.
13/03/2026 (17-18): Zeri della funzione theta. Ogni funzione meromorfa su un toro complesso è quoziente di prodotti di traslati della funzione theta. Ogni mappa olomorfa tra tori complessi e' indotta da una mappa lineare di C.
19/03/2026 (19-20): Automorfismi di un toro complesso. Le classi di isomorfismo di tori complessi sono parametrizzate dal semipiano superiore quozientato per l'azione di SL(2,Z). Forme differenziali su superfici di Riemann: 0-forme C^\infty, 1-forme olomorfe e meromorfe. Esempi.
20/03/2026 (21-22): 1-forme e 2-forme C^\infty su superfici di Riemann. Moltiplicazione di una 1-forma o di una 2-forma per una 0-forma. Prodotto wedge di due 1-forme.
24/03/2026 (23-24): Differenziali di 0-forme e 1-forme C^\infty su una superficie di Riemann. Forme chiuse e forme esatte. Pulbback di forme differenziali tramite una mappa olomorfa di Superfici di Riemann. Lemma di Poincare' e Lemma di Dolbeault (enunciati).
26/03/2026 (25-26): Integrazione di 1-forme lungo cammini di una Superfici di Riemann: definizione e sue proprietà. Residuo di una 1-forma meromorfa in un punto.
27/03/2026 (27-28): Integrazione di 2-forme su sottoinsiemi compatti di una Superficie di Riemann. Torema di Stokke. Teorema dei Residui. L'integrale di una 1-forma chiusa lungo un cammino non dipende dalla classe di omotopia del cammino. Mappa dei periodi.
31/03/2026 (29-30): Divisori su superfici di Riemann compatte. Divisori principali. Divisori canonici. I divisori canonici formano una classe laterale rispetto al quoziente Div(X)/PDiv(X). Ogni divisore canonico su una superficie di Riemann di genere g ha grado 2g-2.
02/04/2026 (31-32): Divisore di diramazione e divisore di ramificazione di una mappa olomorfa tra superfici di Riemann compatte. Teorema di Riemann-Hurwitz. Divisori di intersezione su curve lisce proiettive. Equivalenza lineare tra divisori. La classe di equivalenza lineare di un divisore sulla sfera di Riemann è univocamente determinata dal suo grado. Mappa di Abel-Jacobi su un toro complesso. Due divisori su un toro complesso sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grazo e la stessa immagine tramite la mappa di Abel-Jacobi. Corollari.
09/04/2026 (33-34): Lo spazio L(D) delle funzioni meromorfe con poli limitati da D. Se D_1 e D_2 sono linearmente equivalenti, allora L(D_1) e L(D_2) sono canonicamente isomorfi. Esempi. Sistemi lineari. Il sistema lineare completo |D| è in biezione con il proiettivizzato di L(D). L(D-P) ha codimensione <=1 in L(D). Lo spazio L(D) ha dimensione <= deg D+1. Dimensione di sistemi lineari completi sulla sfera di Riemann e sui tori complessi.
10/04/2026 (35-36): Mappe olomorfe nello spazio proiettivo P^n definite tramite una (n+1)-upla di funzioni meromorfe su X non tutte identicamente nulle. Sistema lineare associato a una mappa olomorfa. Sistemi lineari senza punti base.
14/04/2026 (37-38): Interpretazione del sistema lineare associato a una mappa lineare come sistema lineare dei divisori iperpiani. Mappa olomorfa associata a un sistema lineare privo di punti base. Parte fissa e parte mobiile di un sistema lineare.
16/04/2026 (39-40): Criterio per l'iniettività della mappa olomorfa associata a un sistema lineare senza punti base |D|. Criterio affinché
la mappa olomorfa associata a |D| sia un isomorfismo su una curva proiettiva liscia. Sistemi lineari molto ampi. Cure razionali normali e curve ellittiche njormali.
17/04/2026 (41-42): Gruppo dei divisori di code di Laurant e sottogruppo di quelli limitati da un divisore D. Mappe di troncamento e di moltiplicazione. La mappa \alpha_D e lo spazio H^1(D). Prima forma del Teorema di Riemann-Roch. Mappa dei residui associata a D. Dualità di Serre (enunciato). Seconda forma del Teorema di Riemann-Roch. Le tre incarnazioni del genere di una superficie di Riemann compatta.
28/04/2026 (43-44): Dimostrazione del Teorema di Dualità di Serre.
30/04/2026 (45-46): Applicazioni del Teorema di Riemann Roch. Se X ha genere g, ogni sistema lineare su X di grado >=2g+1 è molto ampio. Ogni superficie di Riemann compatta è isomorfa a una curva proiettiva liscia. Ogni superficie di Riemann di genere 0 è isomorfa a P^1(C). Ogni superficie di Riemann di genere 1 è isomorfa a una cubica piana. Ogni superficie di Riemann di genere 2 è iperellittica. Il sistema lineare canonico di una superficie di Riemann non iperellittica di genere g>=3 è molto ampio. Curve canoniche. Versione geometrica del Teorema di Riemann Roch. Dimensione di un sistema lineare generico di grado d.
14/05/2026 (47-48): Discussione esercizi.

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La somma degli ordini in tutti i punti della sfera di Riemann di una funzione razionale è nulla. 03/03/2026 (7-8): Teoremi sulle funzioni meromorfe che seguono da analisi complessa (discretezza degli zeri e dei poli, principio di identità e massimo modulo), una funzione su una superficie di Riemann compatta ovunque olomorfa e' costante. Ogni funzione meromorfa sulla sfera di Riemann e' una funzione razionale e,analogamente, ogni funzione meromorfa su P^1(C) e' quoziente di due polinomi omogenei dello stesso grado. Curve lisce proiettive. Mappe olomorfe tra superfici di Riemann: definizione, proprietà, esempi. Isomorfismo tra la sfera di Riemann e P^1(C) (esercizio). 05/03/2026 (9-10): Corrispondenza biettiva tra le funzioni meromorfe di una superficie di Riemann X e le mappe olomorfe da X alla sfera di Riemann. Pullback di funzioni olomorfe e meromorfe tramite una mappa olomorfa di superfici di Riemann. Forma locale normale di una mappa olomorfa e molteplicità in un punto. Punti di ramificazione e di diramazione. 06/03/2026 (11-12): Come calcolare la molteplicita' di una mappa olomorfa in un punto. Esempi: proiezione di una curva piana, molteplicita' di una mappa olomorfa da X in P^1(C) in un punto P in termini dell'ordine in P della corrispondente funzione meromorfa su X. Grado di una mappa olomorfa non costante. Una superficie di Riemann compatta che ammette una funzione meromorfa con un solo polo semplice e' isomorfa alla sfera di Riemann. Se X e' compatta, la somma degli ordini in tutti i punti di X di una funzione meromorfa su X e' nulla. 10/03/2026 (13-14): Caratteristica di Eulero e trangolazioni, genere di una superficie di Riemann compatta. Formula di Hurwitz. Costruzione di superfici di Riemann iperellittiche. 12/03/2026 (15-16): Funzioni meromorfe su superfici di Riemann iperellittiche. Ogni toro complesso e' isomorfo a un toro con reticolo generato da 1 e da un numero complesso \tau con parte immaginaria positiva. Definizione della funzione theta e dimostrazione della convergenza assoluta e uniforme sui compatti della serie che la definisce. Quasiperiodicita' della funzione theta. 13/03/2026 (17-18): Zeri della funzione theta. Ogni funzione meromorfa su un toro complesso è quoziente di prodotti di traslati della funzione theta. Ogni mappa olomorfa tra tori complessi e' indotta da una mappa lineare di C. 19/03/2026 (19-20): Automorfismi di un toro complesso. Le classi di isomorfismo di tori complessi sono parametrizzate dal semipiano superiore quozientato per l'azione di SL(2,Z). Forme differenziali su superfici di Riemann: 0-forme C^\infty, 1-forme olomorfe e meromorfe. Esempi. 20/03/2026 (21-22): 1-forme e 2-forme C^\infty su superfici di Riemann. Moltiplicazione di una 1-forma o di una 2-forma per una 0-forma. Prodotto wedge di due 1-forme. 24/03/2026 (23-24): Differenziali di 0-forme e 1-forme C^\infty su una superficie di Riemann. Forme chiuse e forme esatte. Pulbback di forme differenziali tramite una mappa olomorfa di Superfici di Riemann. Lemma di Poincare' e Lemma di Dolbeault (enunciati). 26/03/2026 (25-26): Integrazione di 1-forme lungo cammini di una Superfici di Riemann: definizione e sue proprietà. Residuo di una 1-forma meromorfa in un punto. 27/03/2026 (27-28): Integrazione di 2-forme su sottoinsiemi compatti di una Superficie di Riemann. Torema di Stokke. Teorema dei Residui. L'integrale di una 1-forma chiusa lungo un cammino non dipende dalla classe di omotopia del cammino. Mappa dei periodi. 31/03/2026 (29-30): Divisori su superfici di Riemann compatte. Divisori principali. Divisori canonici. I divisori canonici formano una classe laterale rispetto al quoziente Div(X)/PDiv(X). Ogni divisore canonico su una superficie di Riemann di genere g ha grado 2g-2. 02/04/2026 (31-32): Divisore di diramazione e divisore di ramificazione di una mappa olomorfa tra superfici di Riemann compatte. Teorema di Riemann-Hurwitz. Divisori di intersezione su curve lisce proiettive. Equivalenza lineare tra divisori. La classe di equivalenza lineare di un divisore sulla sfera di Riemann è univocamente determinata dal suo grado. Mappa di Abel-Jacobi su un toro complesso. Due divisori su un toro complesso sono linearmente equivalenti se e solo se hanno lo stesso grazo e la stessa immagine tramite la mappa di Abel-Jacobi. Corollari. 09/04/2026 (33-34): Lo spazio L(D) delle funzioni meromorfe con poli limitati da D. Se D_1 e D_2 sono linearmente equivalenti, allora L(D_1) e L(D_2) sono canonicamente isomorfi. Esempi. Sistemi lineari. Il sistema lineare completo \|D\| è in biezione con il proiettivizzato di L(D). L(D-P) ha codimensione <=1 in L(D). Lo spazio L(D) ha dimensione <= deg D+1. Dimensione di sistemi lineari completi sulla sfera di Riemann e sui tori complessi. 10/04/2026 (35-36): Mappe olomorfe nello spazio proiettivo P^n definite tramite una (n+1)-upla di funzioni meromorfe su X non tutte identicamente nulle. Sistema lineare associato a una mappa olomorfa. Sistemi lineari senza punti base. 14/04/2026 (37-38): Interpretazione del sistema lineare associato a una mappa lineare come sistema lineare dei divisori iperpiani. Mappa olomorfa associata a un sistema lineare privo di punti base. Parte fissa e parte mobiile di un sistema lineare. 16/04/2026 (39-40): Criterio per l'iniettività della mappa olomorfa associata a un sistema lineare senza punti base \|D\|. Criterio affinché la mappa olomorfa associata a \|D\| sia un isomorfismo su una curva proiettiva liscia. Sistemi lineari molto ampi. Cure razionali normali e curve ellittiche njormali. 17/04/2026 (41-42): Gruppo dei divisori di code di Laurant e sottogruppo di quelli limitati da un divisore D. Mappe di troncamento e di moltiplicazione. La mappa \alpha_D e lo spazio H^1(D). Prima forma del Teorema di Riemann-Roch. Mappa dei residui associata a D. Dualità di Serre (enunciato). Seconda forma del Teorema di Riemann-Roch. Le tre incarnazioni del genere di una superficie di Riemann compatta. 28/04/2026 (43-44): Dimostrazione del Teorema di Dualità di Serre. 30/04/2026 (45-46): Applicazioni del Teorema di Riemann Roch. Se X ha genere g, ogni sistema lineare su X di grado >=2g+1 è molto ampio. Ogni superficie di Riemann compatta è isomorfa a una curva proiettiva liscia. Ogni superficie di Riemann di genere 0 è isomorfa a P^1(C). Ogni superficie di Riemann di genere 1 è isomorfa a una cubica piana. Ogni superficie di Riemann di genere 2 è iperellittica. Il sistema lineare canonico di una superficie di Riemann non iperellittica di genere g>=3 è molto ampio. Curve canoniche. Versione geometrica del Teorema di Riemann Roch. Dimensione di un sistema lineare generico di grado d. 14/05/2026 (47-48): Discussione esercizi.