Diaro GE110 25-26

Diario delle lezioni GE110 A.A. 2025-2026

23/02/2026 (1-2): Introduzione al corso. Richiami sui campi. Definizione di spazio vettoriale. Esempi. Proprieta' delle operazioni su uno spazio vettoriale derivanti dagli assiomi.
24/02/2026 (3-4): Definizione di sottospazio vettoriale. Esempi e controesempi. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali. Somma diretta di sottospazi. Matrici. Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare.
26/02/2026 (5-6): Matrici quadrate, diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche. Sistemi lineari. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema lineare. Operazioni elementari sulle righe di una matrice e sistemi lineari equivalenti. Matrici a scala. Metodo di eliminazione di Gauss: trasformazione di una qualsiasi matrice in una matrice a scala tramite operazioni elementari sulle righe. Risoluzione di sistemi lineari omogenei.
27/02/2026 (7-8): Combinazioni lineari. Lineare dipendenza e lineare indipendenza: definizione e esempi. Come verificare se n vettri in K^m sono linearmente indipendenti. Sottospazio generato da un insieme di vettori. Insiemi di generatori: definizione e esempi. Spazi vettoriali di dimensione finita. Esempi e controesempi.
03/03/2026 (9-10): Teorema di scambio. La cardinalita' di un insieme di vettori linearmente indipendenti e' minore o uguale alla cardinalita' di un insieme di generatori. Uno spazio vettoriale ha dimensione infinita se e solo se contiene insiemi di vettori linearmente indipendenti di ogni possibile cardinalita' finita. R come spazio vettoriale su Q non ha dimensione finita. Basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita: definizione e esempi. Tutte le basi di uno spazio vettorialedi dimensione finita hanno la stessa cardinalita'.
09/03/2026 (11-12): Insiemi minimali di generatori e insiemi massimali di vettori linearmente indipendenti. Teorema di estrazione di una base. Teorema del completamento a una base. Teorema di esistenza di una base. Dimensione di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Sistemi lineari non omogenei e Teorema di Rouche'-Capelli (enunciato in termini di pivot).
10/03/2026 (13-14): Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi di K^n. Come trovare basi dell'intersezione e della somma di due sottospazi di K^n.
12/03/2026 (15-16): Formula di Grassmann. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Esempi. Linearita' delle coordinate di un vettore rispetto a una base.
13/03/2026 (17-18): Dato uno uno spazio vettorale V di dimensione n su K, considerando le coordinate dei vettori di V rispetto a una base fissata riusciamo a tradurre problemi su V in problemi su K^n. Apllicazioni lineari: definizione, esempi e prime proprieta'. Moltiplicazione di una matrice per un vettore: le applicazioni lineari della forma L_A, con A matrice fissata.
19/03/2026 (19-20): Lo spazio vettoriale Hom(V,W). La composizione di applicazioni lineari e' lineare. Isomorfismi. Dato uno spazio vettoriale di dimensione n su K, prendendo le coordinate rispetto a una fissata base di V, si definisce un isomorfismo tra V e K^n. Due spazi vettoriali della stessa dimensione su K sono isomorfi. Nucleo e immagine di un'apllicazione lineare. Un'applicazione lineare e' iniettiva se e solo se il suo nucleo contiene solo il vettore nullo, e' suriettiva se solo se la sua immagine coincide con il codominio. Un'applicazione lineare iniettiva manda vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti. Un'applicazione lineare suriettiva manda un insieme di generatori in un insieme di generatori. Se due spazi vettoriali di dimensione finita su K sono isomorfi, allora hanno la stessa dimensione. Le immagini tramite un'applicazione lineare f:V->W dei vettori di una base di V generano l'immagine di f.
20/03/2026 (21-22): Rango di un'applicazione lineare. Teorema del rango e suoi corollari. Data una base B di V, esiste un'unica applicazione lineare f:V->W che manda i vettori di B in vettori fissati di W. Matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a una base fissata del dominio e a una base fissata del codominio.
26/03/2026 (23-24): Dati due spazi vettoriali V e W di dimensione n e m su K, fissando una base di V e una base di W si definisce un isomorfismo tra Hom(V,W) e lo spazio delle matrici mxn a coefficienti in K. Come calcolare nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Esempi. Prodotto righe per colonne e sue proprieta'. La matrice associata alla composizione di due applicazioni lineari corrisponde al prodotto righe per colonne delle loro matrici associate. Matrici invertibili. Una matrice quadrata di ordine n e' invertibile se e solo se le sue colonne formano una base di K^n.
27/03/2026 (25-26): La trasposta di una matrice invertibile e' invertibile. Una matrice quadrata di ordine n e' invertibile se e solo se le sue righe formano una base di K^n. Algoritmo di Gauss-Jordan per il calcolo dell'inversa. Rango di una matrice. Il rango di una matrice e' uguale alla dimensione del sottospazio generato dalle sue colonne.
31/03/2026 (27-28): Il rango di una matrice e' uguale al massimo ordine di una sua sottomatrice invertibile. Il rango di una matrice coincide con il rango della sua trasposta. Il rango di una matrice e' uguale alla dimensione del sottospazio generato dalle sue righe. Matrice di cambiamento di base. Formula del cambiamento di coordinate.
02/04/2026 (29-30): Formula del cambiamneto di base per applicazioni lineari. Determinante: sua definizione ricorsiva. Il determinante e' multilineare sulle colonne.
10/04/2026 (31-32): Il determinante e' alternante sulle colonne. Proprieta' delle applicazioni multilineari e alternanti sulle colonne. Determinante e permutazioni. Teorema di unicita' del determinante.
14/04/2026 (33-34): Svilluppo di Laplace rispetto a una riga. Il determinante di una matrice è uguale a quello della sua trasposta. Svilluppo di Laplace rispetto a una colonna. Teorema di Binet. Una matrice e' invertibile se e solo se il suo determinante e' non nullo.
17/04/2026 (35-36): Metodo dei cofattori per il caloclo dell'inversa e regola di Cramer. Significato geometrico del determinante. Endomorfismi di uno spazio vettoriale. Il gruppo lineare. Matrici simili. Definizione di endomorfismo diagonalizzabile e di matrice diagonalizzabile. Un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se lo è la matrice che lo rappresenta rispetto a una qualsiasi base. Autovalori e autovettori.
28/04/2026 (37-38): Polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicita' geometrica. Autovettori relativi a autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
30/04/2026 (39-40): Primo criterio di diagonalizzabilita'. Molteplicita' algebrica. Il polinomio caratteristico di un endomorfismo diagonalizzabile si spezza in fattori lineari. La molteplicita' algebrica e' maggiore o uguale alla molteplicita' geometrica. Secondo criterio di diagonalizzabilita'.
04/05/2026 (41-42): Esempi sulla diagonalizzazione. Forme bilineari: definizione ed esempi. L'insieme delle forme bilineari su V e' uno spazio vettoriale sullo stesso campo di V.
07/05/2026 (43-44): Forme bilineari simmetriche, antisimmetriche e alternanti. Alternante implica antisimmetrica; il viceversa e' vero se la caratteristica del campo e' diversa da 2. In caratteristica diversa da 2, ogni forma bilineare si scrive in modo unico come somma di una simmetrica e di una alternante. Una forma bilineare e' univocamente determinata dai valori che assume sulle coppie di vettori di una fissata base. Matrice associata a una forma bilineare in una fissata base.
08/05/2026 (45-46): Formula di cambimento di base per forme bilineari. Matrici congruenti. Il rango e' un invariante per congruenza. Rango di una forma bilineare. Le applicazioni lineari L_b e R_b associate a una forma bilineare b su V. Radicale sinistro e radicale destro e loro dimensione. Forme bilineari non degeneri. Forme quadratiche: definizione e esempi.
12/05/2026 (47-48): Forma quadratica indotta da una forma bilineare. In caratteristica diversa da 2 ogni forma quadratica e' indotta da una e una sola forma bilineare simmetrica (detta forma polare). Forme bilineari simmetriche: ortogonalita' di due vettori, sottospazio ortogonale a un sottoinsieme. Lsa restrizione di una forma bilineare simmetrica su V a un sottospazio W di V è non degenere se e solo se V è somma diretta di W e del suo ortogonale. Cono dei vettori isotropi.
14/05/2026 (49-50): Basi ortogonali. Teorema di Lagrange. In caratteriestica diversa da 2, ogni matrice simmetrica e' congruente a una matrice diagonale. Teorema di Sylvester complesso. Due matrici su C sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango.
15/05/2026 (51-52): Caso reale: forme bilineari simmetriche (semi)definite positive/negative o indefinite. Prodotti scalari: definizione e esempi. Indici di positivita', negativita' e nullita'. Teorema di Sylvester reale. Segnatura di forme bilineari simmetriche su spazi vettoriali reali, e di matrici simmetriche a coefficienti reali. Due matrici simmetriche reali sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.
19/05/2026 (53-54): Criterio di Sylvester o dei minorti principali. Spazi euclidei. Norma e sue proprieta' (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare). Basi ortonormali e algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale. Coefficienti di Fourier.
21/05/2026 (55-56): Operatori simmetrici e ortogonali. Un endomorfismo e' simmetrico/ortogonale se e solo se lo e' la matrice che lo rappresenta rispetto a una base ortonormale. Sottogruppi delle matrici ortogonali e delle matrici ortogonali speciali. Condizioni equivalenti affinche' una matrice sia ortogonale. Matrici ortogonali di ordine due.

Home	Research	Teaching
Diario delle lezioni GE110 A.A. 2025-2026 23/02/2026 (1-2): Introduzione al corso. Richiami sui campi. Definizione di spazio vettoriale. Esempi. Proprieta' delle operazioni su uno spazio vettoriale derivanti dagli assiomi. 24/02/2026 (3-4): Definizione di sottospazio vettoriale. Esempi e controesempi. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali. Somma diretta di sottospazi. Matrici. Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare. 26/02/2026 (5-6): Matrici quadrate, diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche. Sistemi lineari. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema lineare. Operazioni elementari sulle righe di una matrice e sistemi lineari equivalenti. Matrici a scala. Metodo di eliminazione di Gauss: trasformazione di una qualsiasi matrice in una matrice a scala tramite operazioni elementari sulle righe. Risoluzione di sistemi lineari omogenei. 27/02/2026 (7-8): Combinazioni lineari. Lineare dipendenza e lineare indipendenza: definizione e esempi. Come verificare se n vettri in K^m sono linearmente indipendenti. Sottospazio generato da un insieme di vettori. Insiemi di generatori: definizione e esempi. Spazi vettoriali di dimensione finita. Esempi e controesempi. 03/03/2026 (9-10): Teorema di scambio. La cardinalita' di un insieme di vettori linearmente indipendenti e' minore o uguale alla cardinalita' di un insieme di generatori. Uno spazio vettoriale ha dimensione infinita se e solo se contiene insiemi di vettori linearmente indipendenti di ogni possibile cardinalita' finita. R come spazio vettoriale su Q non ha dimensione finita. Basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita: definizione e esempi. Tutte le basi di uno spazio vettorialedi dimensione finita hanno la stessa cardinalita'. 09/03/2026 (11-12): Insiemi minimali di generatori e insiemi massimali di vettori linearmente indipendenti. Teorema di estrazione di una base. Teorema del completamento a una base. Teorema di esistenza di una base. Dimensione di uno spazio vettoriale di dimensione finita. Sistemi lineari non omogenei e Teorema di Rouche'-Capelli (enunciato in termini di pivot). 10/03/2026 (13-14): Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi di K^n. Come trovare basi dell'intersezione e della somma di due sottospazi di K^n. 12/03/2026 (15-16): Formula di Grassmann. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Esempi. Linearita' delle coordinate di un vettore rispetto a una base. 13/03/2026 (17-18): Dato uno uno spazio vettorale V di dimensione n su K, considerando le coordinate dei vettori di V rispetto a una base fissata riusciamo a tradurre problemi su V in problemi su K^n. Apllicazioni lineari: definizione, esempi e prime proprieta'. Moltiplicazione di una matrice per un vettore: le applicazioni lineari della forma L_A, con A matrice fissata. 19/03/2026 (19-20): Lo spazio vettoriale Hom(V,W). La composizione di applicazioni lineari e' lineare. Isomorfismi. Dato uno spazio vettoriale di dimensione n su K, prendendo le coordinate rispetto a una fissata base di V, si definisce un isomorfismo tra V e K^n. Due spazi vettoriali della stessa dimensione su K sono isomorfi. Nucleo e immagine di un'apllicazione lineare. Un'applicazione lineare e' iniettiva se e solo se il suo nucleo contiene solo il vettore nullo, e' suriettiva se solo se la sua immagine coincide con il codominio. Un'applicazione lineare iniettiva manda vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti. Un'applicazione lineare suriettiva manda un insieme di generatori in un insieme di generatori. Se due spazi vettoriali di dimensione finita su K sono isomorfi, allora hanno la stessa dimensione. Le immagini tramite un'applicazione lineare f:V->W dei vettori di una base di V generano l'immagine di f. 20/03/2026 (21-22): Rango di un'applicazione lineare. Teorema del rango e suoi corollari. Data una base B di V, esiste un'unica applicazione lineare f:V->W che manda i vettori di B in vettori fissati di W. Matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a una base fissata del dominio e a una base fissata del codominio. 26/03/2026 (23-24): Dati due spazi vettoriali V e W di dimensione n e m su K, fissando una base di V e una base di W si definisce un isomorfismo tra Hom(V,W) e lo spazio delle matrici mxn a coefficienti in K. Come calcolare nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Esempi. Prodotto righe per colonne e sue proprieta'. La matrice associata alla composizione di due applicazioni lineari corrisponde al prodotto righe per colonne delle loro matrici associate. Matrici invertibili. Una matrice quadrata di ordine n e' invertibile se e solo se le sue colonne formano una base di K^n. 27/03/2026 (25-26): La trasposta di una matrice invertibile e' invertibile. Una matrice quadrata di ordine n e' invertibile se e solo se le sue righe formano una base di K^n. Algoritmo di Gauss-Jordan per il calcolo dell'inversa. Rango di una matrice. Il rango di una matrice e' uguale alla dimensione del sottospazio generato dalle sue colonne. 31/03/2026 (27-28): Il rango di una matrice e' uguale al massimo ordine di una sua sottomatrice invertibile. Il rango di una matrice coincide con il rango della sua trasposta. Il rango di una matrice e' uguale alla dimensione del sottospazio generato dalle sue righe. Matrice di cambiamento di base. Formula del cambiamento di coordinate. 02/04/2026 (29-30): Formula del cambiamneto di base per applicazioni lineari. Determinante: sua definizione ricorsiva. Il determinante e' multilineare sulle colonne. 10/04/2026 (31-32): Il determinante e' alternante sulle colonne. Proprieta' delle applicazioni multilineari e alternanti sulle colonne. Determinante e permutazioni. Teorema di unicita' del determinante. 14/04/2026 (33-34): Svilluppo di Laplace rispetto a una riga. Il determinante di una matrice è uguale a quello della sua trasposta. Svilluppo di Laplace rispetto a una colonna. Teorema di Binet. Una matrice e' invertibile se e solo se il suo determinante e' non nullo. 17/04/2026 (35-36): Metodo dei cofattori per il caloclo dell'inversa e regola di Cramer. Significato geometrico del determinante. Endomorfismi di uno spazio vettoriale. Il gruppo lineare. Matrici simili. Definizione di endomorfismo diagonalizzabile e di matrice diagonalizzabile. Un endomorfismo è diagonalizzabile se e solo se lo è la matrice che lo rappresenta rispetto a una qualsiasi base. Autovalori e autovettori. 28/04/2026 (37-38): Polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicita' geometrica. Autovettori relativi a autovalori distinti sono linearmente indipendenti. 30/04/2026 (39-40): Primo criterio di diagonalizzabilita'. Molteplicita' algebrica. Il polinomio caratteristico di un endomorfismo diagonalizzabile si spezza in fattori lineari. La molteplicita' algebrica e' maggiore o uguale alla molteplicita' geometrica. Secondo criterio di diagonalizzabilita'. 04/05/2026 (41-42): Esempi sulla diagonalizzazione. Forme bilineari: definizione ed esempi. L'insieme delle forme bilineari su V e' uno spazio vettoriale sullo stesso campo di V. 07/05/2026 (43-44): Forme bilineari simmetriche, antisimmetriche e alternanti. Alternante implica antisimmetrica; il viceversa e' vero se la caratteristica del campo e' diversa da 2. In caratteristica diversa da 2, ogni forma bilineare si scrive in modo unico come somma di una simmetrica e di una alternante. Una forma bilineare e' univocamente determinata dai valori che assume sulle coppie di vettori di una fissata base. Matrice associata a una forma bilineare in una fissata base. 08/05/2026 (45-46): Formula di cambimento di base per forme bilineari. Matrici congruenti. Il rango e' un invariante per congruenza. Rango di una forma bilineare. Le applicazioni lineari L_b e R_b associate a una forma bilineare b su V. Radicale sinistro e radicale destro e loro dimensione. Forme bilineari non degeneri. Forme quadratiche: definizione e esempi. 12/05/2026 (47-48): Forma quadratica indotta da una forma bilineare. In caratteristica diversa da 2 ogni forma quadratica e' indotta da una e una sola forma bilineare simmetrica (detta forma polare). Forme bilineari simmetriche: ortogonalita' di due vettori, sottospazio ortogonale a un sottoinsieme. Lsa restrizione di una forma bilineare simmetrica su V a un sottospazio W di V è non degenere se e solo se V è somma diretta di W e del suo ortogonale. Cono dei vettori isotropi. 14/05/2026 (49-50): Basi ortogonali. Teorema di Lagrange. In caratteriestica diversa da 2, ogni matrice simmetrica e' congruente a una matrice diagonale. Teorema di Sylvester complesso. Due matrici su C sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango. 15/05/2026 (51-52): Caso reale: forme bilineari simmetriche (semi)definite positive/negative o indefinite. Prodotti scalari: definizione e esempi. Indici di positivita', negativita' e nullita'. Teorema di Sylvester reale. Segnatura di forme bilineari simmetriche su spazi vettoriali reali, e di matrici simmetriche a coefficienti reali. Due matrici simmetriche reali sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura. 19/05/2026 (53-54): Criterio di Sylvester o dei minorti principali. Spazi euclidei. Norma e sue proprieta' (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare). Basi ortonormali e algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale. Coefficienti di Fourier. 21/05/2026 (55-56): Operatori simmetrici e ortogonali. Un endomorfismo e' simmetrico/ortogonale se e solo se lo e' la matrice che lo rappresenta rispetto a una base ortonormale. Sottogruppi delle matrici ortogonali e delle matrici ortogonali speciali. Condizioni equivalenti affinche' una matrice sia ortogonale. Matrici ortogonali di ordine due.