Diario delle lezioni AL410 A.A. 2024-2025:

• 23/09/2024: Introduzione e motivazione all'algebra commutativa: insiemi algebrici, varieta' affini, anello delle funzioni polinomiali su una varieta' affine.
• 26/09/2024: Anelli, omomorfismi di anelli, ideali, anelli quoziente.
  
• 27/09/2024: Operazioni tra ideali: intersezione, somma, prodotto. Ideali coprimi. Prodotto diretto di anelli. Teorema cinese del resto.
• 30/09/2024: Interpretazione geometrica delle operazioni tra ideali. Ideali primi e massimali e loro interpretazione geometrica. Richiami sul Lemma di Zorn. Esistenza di ideali massimali.
• 03/10/2024:  Anelli locali. Nilradicale e radicale di Jacobson. Contrazione ed estensione di ideali e loro interpretazione geometrica.
• 04/10/2024:  Moduli, omomorfismi di moduli, sottomoduli e moduli quoziente. Operazioni tra moduli.
  
• 07/10/2024: Somma diretta esterna e prodotto diretto di moduli. Somma diretta interna di sottomoduli. Sistemi di generatori e basi. Moduli finitamente generati e moduli liberi. Tutte le basi di un modulo libero hanno la stessa cardinalita'.
• 10/10/2024: Esercizi su anelli e ideali.
• 11/10/2024: Generalizzazione del Teorema di Cayley-Hamilton. Lemma di Nakayama e suoi corollari.
• 14/10/2024: Successioni esatte e successioni esatte corte, lemma del serpente.
• 17/10/2024: Successioni esatte spezzanti. Esercizi sui moduli.
  
• 18/10/2024: Prodotto tensoriale di moduli: definizione tramite la proprieta' universale, dimostrazione esistenza e unicita'. Isomorfismi canonici. Esempi di prodotti tensoriali.
• 21/10/2024: Algebre e prodotti tensoriali di algebre.
• 24/10/2024: Esercizi.
  
• 25/10/2024: Esattezza del prodotto tensoriale.
• 31/10/2024 (ore 9-11): Restrizione ed estensione degli scalari. Parti moltiplicative e localizzazione: definizione ed esempi.
  
• 04/11/2024: Proprieta' universale della localizzazione. Esempi di localizzazioni.
  
• 07/11/2024 (ore 9-11): Comportamento degli ideali rispetto alla localizzazione. Localizzazione di moduli, localizzazione di un omomorfismo di moduli.
• 07/11/2024: Esercizi sul prodotto tensoriale.
  
• 30/10/2024: Esattezza della localizzazione, la localizzazione commuta con il prodotto tensoriale, proprieta' locali.
• 18/11/2024: Definizioni di serie di composizione e lunghezza di un modulo. Se un modulo ha lunghezza finita l, ogni sua serie di composizione ha lunghezza l. La lunghezza di uno spazio vettoriale coincide con la sua dimensione. Additivita' della lunghezza e suoi corollari.
• 21/11/2024: Condizioni sulle catene: definizione di modulo Artiniano e Noetheriano e primi esempi. Definizioni equivalenti. Un modulo e' Noetheriano se e solo se tutti i suoi sottomoduli sono finitamente generati. Comportamento delle condizioni sulle catene rispetto alle successioni esatte corte e corollari.
• 22/11/2020: Un modulo ha lunghezza finita se e solo se e' sia Artiniano che Noetheriano. Anelli Noetheriani. La localizzazione di un anello Noetheriano e' Noetheriana. Teorema della base di Hilbert. Richiami sulle estensioni algebriche di campi.
• 25/11/2024: Estensioni intere di anelli: definizione e esempi. Un'estensione di anelli e' finita se e solo se e' finitamente generata e intera. Chiusura integrale di un anello in un sovraanello. Domini di integrita' normali. Transitivita' della dipendenza integrale. Le estensioni intere si comportano bene rispetto ai quozienti e alle localizzazioni. Esempi geometrici di estensioni intere.
• 28/11/2024: Seminario sullo spettro primo di un anello.
• 28/11/2024: Esercizi sulla localizzazione.
  
• 29/11/2024:  Teorema del Lying Over e sua interpretazione geometrica.Teorema di Incomparabilita', suoi corollari e interpretazione geometrica. Teorema del Going-up e sua interpretazione geometrica.
  
• 02/12/2024: Interpretazione geometrica dei domini normali. Teorema del Going-down e sua interpretazione geometrica.
• 05/12/2024: Seminario sulla decomposizione primaria.
• 05/12/2024: Teorema di Normalizzazione di Noether e Teorema degli zeri di Hilbert.
• 06/12/2024: Dimensione di Krull e sua interpretazione geometrica. Prime proprieta' della dimensione. Invarianza della dimensione di Krull per estensioni intere. L'anello dei polinomi in n variabili a coefficienti in un campo ha dimensione n.
• 09/12/2024: Dimensione di un'algebra finitamente generata su un campo. Teorema dell'ideale principale di Krull e suoi corollari.
• 12/12/2024: Insiemi algebricamente indipendenti e basi di trascendenza. Grado di trescendenza. Se A e' una K-algebra finitamente generata, la sua dimensione di Krull coincide con il grado di trascendenza di Quot(A) su K. Dimensione di anelli Noetheriani locali. Anelli regolari.
• 13/12/2024: Esercizi.