Diario delle lezioni di GE110
- 22/02/2022 (1-2): Introduzione al corso. Richiami sui campi. Definizione di spazio vettoriale. Esempi
- 23/02/2022
(3-4-5): Proprieta' delle operazioni su uno
spazio vettoriale derivanti dagli assiomi. Prodotto cartesiano di
spazi vettoriali. Definizione di sottospazio vettoriale. Esempi e
controesempi. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali. Somma
diretta di sottospazi. Matrici. Somma di matrici e prodotto di
una matrice per uno scalare. Matrici quadrate, diagonali, triangolari,
simmetriche, antisimmetriche.
- 24/02/2022 (6-7): Sistemi lineari. Matrice dei coefficienti e matrice
completa di un sistema lineare. Operazioni elementari
sulle righe di una matrice e sistemi lineari equivalenti. Matrici a
scala. Metodo di eliminazione di Gauss: trasformazione di una qualsiasi
matrice in una matrice a scala tramite operazioni elementari sulle
righe. Risoluzione di sistemi lineari omogenei.
- 01/03/2022 (8-9): Combinazioni lineari. Lineare dipendenza
e lineare indipendenza: definizione e esempi. Come verificare se n
vettri in K^m sono linearmente indipendenti. Sottospazio generato da un
insieme di vettori. Insiemi di generatori: definizione e esempi. Spazi
vettoriali di dimensione finita. Esempi e controesempi.
- 03/03/2022
(10-11): Teorema di scambio. La cardinalita' di un insieme di vettori
linearmente indipendenti e' minore o uguale alla
cardinalita' di un insieme di generatori. Uno spazio vettoriale ha
dimensione infinita se e solo se contiene insiemi di vettori
linearmente indipendenti di ogni possibile cardinalita' finita. R come
spazio vettoriale su Q non ha dimensione finita. Basi di uno spazio
vettoriale di dimensione finita: definizione e esempi. Tutte le basi di
uno spazio vettorialedi dimensione finita hanno la stessa cardinalita'.
- 09/03/2022
(12-13-14): Insiemi minimali di generatori e insiemi massimali di
vettori linearmente indipendenti. Teorema di estrazione di una base.
Teorema del completamento a una base. Teorema
di esistenza di una base. Dimensione di uno spazio vettoriale di
diemnsione finita. Come trovare una base del sottospazio generato da m
vettori in K^n. Come completare k vettori linearmente indipendenti di
K^n a una base.
- 10/03/2022 (15-16): Esercitazione.
- 15/03/2022
(17-18): Sistemi lineari non omogenei e Teorema di
Rouche'-Capelli (enunciato in termini di pivot). Equazioni
parametriche e cartesiane di sottospazi di K^n.
- 16/03/2022 (19-20): Come trovare besi dell'intersezione e
della somma di due sottospazi di K^n. Formula di Grassmann. Coordinate
di un vettore rispetto a una base. Esempi.
- 22/03/2022 (21-22): Linearita' delle coordinate di un
vettore rispetto a una base. Dato uno uno spazio vettorale V di
dimensione n su K, considerando le coordinate dei vettori di V rispetto
a una base fissata riusciamo a tradurre problemi su V in problemi su
K^n.
- 23/03/2022 (23-24-25): Apllicazioni lineari: definizione,
esempi e prime proprieta'. Moltiplicazione di una matrice per un
vettore: le applicazioni lineari della forma L_A, con A matrice
fissata. Lo spazio vettoriale Hom(V,W). La composizione di applicazioni
lineari e' lineare. Applicazioni lineari definite su una somma diretta.
Isomorfismi. Dato uno spazio vettoriale di dimensione n su K, prendendo
le coordinate rispetto a una fissata base di V, si definisce un
isomorfismo tra V e K^n. Due spazi vettoriali della stessa dimensione
su K sono isomorfi. Nucleo e immagine di un'apllicazione lineare.
Un'applicazione lineare e' iniettiva se e solo se il suo nucleo
contiene solo il vettore nullo, e' suriettiva se solo se la sua
immagine coincide con W.
- 29/03/2022 (26-27): Un'applicazione lineare inettiva manda
vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti.
Un'applicazione lineare suriettiva manda un insieme di generatori in un
insieme di generatori. Se due spazi vettoriali di dimensione finita su
K sono isomorfi, allora hanno la stessa dimensione. Le immagini tramite
un'applicazione lineare f:V->W dei vettori di una base di V generano
l'immagine di f. Rango di un'applicazione lineare. Teorema di nullita'
piu' rango e suoi corollari.
- 30/03/2022 (28-29): Data una base B di V, esiste un'unica
applicazione lineare f:V->W che manda i vettori di B in vettori
fissati di W. Matrice associata a un'applicazione lineare
rispetto a una base fissata del dominio e a una base fissata del
codominio. Dati due spazi vettoriali V e W di dimensione m e n su K,
fissando una base di V e una base di W si definisce un isomorfismo tra
Hom(V,W) e lo spazio delle matrici nxm a coefficienti in K. Come
calcolare nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Esempi.
- 05/04/2022
(30-31): Prodotto righe per colonne e sue
proprieta'. La matrice associata alla composizione di due
applicazioni lineari corrisponde al prodotto righe per colonne delle
loro matrici associate. Matrici invertibili. Una matrice quadrata di
ordine n e' invertibile se e solo se le sue colonne formano una base di
K^n. La trasposta di una matrice invertibile e' invertibile. Una
matrice quadrata di ordine n e' invertibile se e solo se le sue righe
formano una base di K^n.
- 06/04/2022 (32-33): Algoritmo di Gauss-Jordan per il
calcolo dell'inversa. Rango di una matrice. Il rango di una matrice e'
uguale alla dimensione del sottospazio generato dalle sue
colonne. Il rango di una matrice e' uguale al massimo ordine di
una sua sottomatrice invertibile. Il rango di una matrice coincide con
il rango della sua trasposta. Il rango di una matrice e' uguale alla dimensione del sottospazio generato dalle sue righe.
- 13/04/2022 (34-35-36): Primo esonero.
- 26/04/2022 (37-38): Matrice di cambiamento di base. Formula
del cambiamento di coordinate. Formula del cambiamneto di base per
applicazioni lineari.
- 27/04/2022 (39-40): Spazio vettoriale duale. Base duale.
Uno spazio vettoriale di dimensione finita e' isomorfo al suo duale.
Biduale di uno spazio vettoriale. Isomorfismo canonico diuno spazio vettoriale di dimensione finita con il suo biduale. Applicazione lineare duale (o trasposta).
- 03/05/2022 (41-42): Matrice che rappresenta l'applicazione
lineare duale. Detreminante: sua definizione ricorsiva e
multilinearita' rispetto alle colonne.
- 04/05/2022 (43-44): Il determinante e' alternante sulle
colonne. Proprieta' delle applicazioni multilineari e alternanti sulle
colonne. Determinante e permutazioni. Teorema di unicita' del
determinante.
- 11/05/2022 (45-46-47): Teorema di Laplace. Teorema di
Binet. Una matrice e' invertibile se e solo se il suo determinante e'
non nullo. Metodo dei cofattori per il caloclo dell'inversa e regola di
Cramer. Significato geometrico del determinante. Endomorfismi di uno spazio vettoriale. Il gruppo lineare. Matrici simili.
- 13/05/2022 (48-49): Diagonalizzazione. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicita' geometrica. Autovettori relativi a autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Primo criterio di diagonalizzabilita'.
- 24/05/2022 (50-51): Molteplicita' algebrica. La
molteplicita' algebrica e' maggiore o uguale alla molteplicita'
geometrica. Secondo criterio di diagonalizzabilita'.
- 24/05/2022 (52-53): Polinomio minimo: esistenza e unicita'. Il polinomio minimo di f divide qualsiasi polinomio che si annulla in
f. Gli autovalori di f sono tutte e sole le radici del polinomio minimo
di f. Teorema di Cayley-Hamilton (senza dimostrazione).
- 25/05/2022 (54-55-56): Sottospazi invarianti. Endomorfismi
nilpotenti: definizione e condizioni equivalenti. Decomposizione di
Fitting per endomorfismi di spazi vettoriali di dimensione finita.
Partizioni e diagrammi di Young.
- 26/06/2022 (57-58): Decomposizione di Jordan per
endomorfismi nilpotenti. Autospazi generalizzati. Un endomorfismo e'
diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo si decompone in
fattori lineari distinti. Forma canonica di Jordan.
- 01/06/2022 (59-60-61): Esercitazione
|