Research

Diario delle lezioni di GE110

19/02/2024 (1-2): Introduzione al corso. Richiami sui campi. Definizione di spazio vettoriale. Esempi
20/02/2024 (3-4): Proprieta' delle operazioni su uno spazio vettoriale derivanti dagli assiomi. Prodotto cartesiano di spazi vettoriali. Definizione di sottospazio vettoriale. Esempi e controesempi. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali.
22/02/2024 (5-6): Somma diretta di sottospazi. Matrici. Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare. Matrici quadrate, diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche. Sistemi lineari. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema lineare.
23/02/2024 (7-8): Operazioni elementari sulle righe di una matrice e sistemi lineari equivalenti. Matrici a scala. Metodo di eliminazione di Gauss: trasformazione di una qualsiasi matrice in una matrice a scala tramite operazioni elementari sulle righe. Risoluzione di sistemi lineari omogenei.
26/02/2024 (9-10): Combinazioni lineari. Lineare dipendenza e lineare indipendenza: definizione e esempi. Come verificare se n vettri in K^m sono linearmente indipendenti. Sottospazio generato da un insieme di vettori. Insiemi di generatori: definizione e esempi. Spazi vettoriali di dimensione finita. Esempi e controesempi.
29/02/2024 (11-12): Teorema di scambio. La cardinalita' di un insieme di vettori linearmente indipendenti e' minore o uguale alla cardinalita' di un insieme di generatori. Uno spazio vettoriale ha dimensione infinita se e solo se contiene insiemi di vettori linearmente indipendenti di ogni possibile cardinalita' finita. R come spazio vettoriale su Q non ha dimensione finita. Basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita: definizione e esempi. Tutte le basi di uno spazio vettorialedi dimensione finita hanno la stessa cardinalita'.
04/03/2024 (13-14): Insiemi minimali di generatori e insiemi massimali di vettori linearmente indipendenti. Teorema di estrazione di una base. Teorema del completamento a una base. Teorema di esistenza di una base. Dimensione di uno spazio vettoriale di diemnsione finita. Come trovare una base del sottospazio generato da m vettori in K^n. Come completare k vettori linearmente indipendenti di K^n a una base.
08/03/2024 (15-16): Sistemi lineari non omogenei e Teorema di Rouche'-Capelli (enunciato in termini di pivot). Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi di K^n.
11/03/2024 (17-18): Come trovare besi dell'intersezione e della somma di due sottospazi di K^n. Formula di Grassmann. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Esempi.
15/03/2024 (19-20): Linearita' delle coordinate di un vettore rispetto a una base. Dato uno uno spazio vettorale V di dimensione n su K, considerando le coordinate dei vettori di V rispetto a una base fissata riusciamo a tradurre problemi su V in problemi su K^n.
18/03/2024 (21-22): Apllicazioni lineari: definizione, esempi e prime proprieta'. Moltiplicazione di una matrice per un vettore: le applicazioni lineari della forma L_A, con A matrice fissata. Lo spazio vettoriale Hom(V,W). La composizione di applicazioni lineari e' lineare. Applicazioni lineari definite su una somma diretta (proprietà universale della somma diretta).
19/03/2024 (23-24): Isomorfismi. Dato uno spazio vettoriale di dimensione n su K, prendendo le coordinate rispetto a una fissata base di V, si definisce un isomorfismo tra V e K^n. Due spazi vettoriali della stessa dimensione su K sono isomorfi. Nucleo e immagine di un'apllicazione lineare. Un'applicazione lineare e' iniettiva se e solo se il suo nucleo contiene solo il vettore nullo, e' suriettiva se solo se la sua immagine coincide con W. Un'applicazione lineare inettiva manda vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti. Un'applicazione lineare suriettiva manda un insieme di generatori in un insieme di generatori. Se due spazi vettoriali di dimensione finita su K sono isomorfi, allora hanno la stessa dimensione. Le immagini tramite un'applicazione lineare f:V->W dei vettori di una base di V generano l'immagine di f. Rango di un'applicazione lineare. Teorema del rango (enunciato).
25/03/2024 (25-26): Dimostrazione del Teorema del rango e suoi corollari. Data una base B di V, esiste un'unica applicazione lineare f:V->W che manda i vettori di B in vettori fissati di W. Matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a una base fissata del dominio e a una base fissata del codominio.
26/03/2024 (27-28): Dati due spazi vettoriali V e W di dimensione n e m su K, fissando una base di V e una base di W si definisce un isomorfismo tra Hom(V,W) e lo spazio delle matrici mxn a coefficienti in K. Come calcolare nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Esempi. Prodotto righe per colonne e sue proprieta'. La matrice associata alla composizione di due applicazioni lineari corrisponde al prodotto righe per colonne delle loro matrici associate.
04/04/2024 (29-30): Matrici invertibili. Una matrice quadrata di ordine n e' invertibile se e solo se le sue colonne formano una base di K^n. La trasposta di una matrice invertibile e' invertibile. Una matrice quadrata di ordine n e' invertibile se e solo se le sue righe formano una base di K^n. Algoritmo di Gauss-Jordan per il calcolo dell'inversa.
05/04/2024 (31-32): Matrice di cambiamento di base. Formula del cambiamento di coordinate. Formula del cambiamneto di base per applicazioni lineari.
11/04/2024 (33-34): Rango di una matrice. Il rango di una matrice e' uguale alla dimensione del sottospazio generato dalle sue colonne. Il rango di una matrice e' uguale al massimo ordine di una sua sottomatrice invertibile. Il rango di una matrice coincide con il rango della sua trasposta. Il rango di una matrice e' uguale alla dimensione del sottospazio generato dalle sue righe. Spazio vettoriale duale. Base duale.
12/04/2024 (35-36): Uno spazio vettoriale di dimensione finita e' isomorfo al suo duale. Biduale di uno spazio vettoriale. Isomorfismo canonico di uno spazio vettoriale di dimensione finita con il suo biduale. Applicazione lineare duale (o trasposta). Matrice che rappresenta l'applicazione lineare duale.
18/04/2024: Primo esonero
22/04/2024 (37-38): Determinante: sua definizione ricorsiva. Il determinante e' multilineare e alternante sulle colonne.
23/04/2024 (39-40): Proprieta' delle applicazioni multilineari e alternanti sulle colonne. Determinante e permutazioni. Teorema di unicita' del determinante. Svilluppo di Laplace rispetto a una riga. Il determinante di una matrice è uguale a quello della sua trasposta. Svilluppo di Laplace rispetto a una colonna.
29/04/2024 (41-42): Teorema di Binet. Una matrice e' invertibile se e solo se il suo determinante e' non nullo. Teorema degli orlati per il calcolo dei determinanti.
02/05/2024 (43-44): Metodo dei cofattori per il caloclo dell'inversa e regola di Cramer. Significato geometrico del determinante. Endomorfismi di uno spazio vettoriale. Il gruppo lineare. Matrici simili.
06/05/2024 (45-46): Diagonalizzazione. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicita' geometrica.
07/05/2024 (47-48): Autovettori relativi a autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Primo criterio di diagonalizzabilita'. Molteplicita' algebrica. Il polinomio caratteristico di un endomorfismo diagonalizzabile si spezza in fattori lineari. La molteplicita' algebrica e' maggiore o uguale alla molteplicita' geometrica.
09/05/2024 (49-50): Secondo criterio di diagonalizzabilita'. Esempi.
13/05/2024 (51-52):Polinomio minimo: esistenza e unicita'. Il polinomio minimo di f divide qualsiasi polinomio che si annulla in f. Gli autovalori di f sono tutte e sole le radici del polinomio minimo di f.
16/05/2024 (53-54):Teorema di Cayley-Hamilton (senza dimostrazione). Esempi sul calcolo del polinomio minimo. Sottospazi invarianti. Endomorfismi nilpotenti: definizione e condizioni equivalenti.
16/05/2024 (55-56): Decomposizione di Fitting per endomorfismi di spazi vettoriali di dimensione finita. Partizioni e diagrammi di Young.
20/05/2024 (57-58): Decomposizione di Jordan per endomorfismi nilpotenti.
23/05/2024 (59-60): Autospazi generalizzati. La dimensione dell'autospazio generalizzato e' uguale alla molteplicita' algebrica del suo autovalore. Un endomorfismo e' diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo si decompone in fattori lineari distinti. Forma canonica di Jordan.

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Diario delle lezioni di GE110 19/02/2024 (1-2): Introduzione al corso. Richiami sui campi. Definizione di spazio vettoriale. Esempi 20/02/2024 (3-4): Proprieta' delle operazioni su uno spazio vettoriale derivanti dagli assiomi. Prodotto cartesiano di spazi vettoriali. Definizione di sottospazio vettoriale. Esempi e controesempi. Intersezione e somma di sottospazi vettoriali. 22/02/2024 (5-6): Somma diretta di sottospazi. Matrici. Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare. Matrici quadrate, diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche. Sistemi lineari. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema lineare. 23/02/2024 (7-8): Operazioni elementari sulle righe di una matrice e sistemi lineari equivalenti. Matrici a scala. Metodo di eliminazione di Gauss: trasformazione di una qualsiasi matrice in una matrice a scala tramite operazioni elementari sulle righe. Risoluzione di sistemi lineari omogenei. 26/02/2024 (9-10): Combinazioni lineari. Lineare dipendenza e lineare indipendenza: definizione e esempi. Come verificare se n vettri in K^m sono linearmente indipendenti. Sottospazio generato da un insieme di vettori. Insiemi di generatori: definizione e esempi. Spazi vettoriali di dimensione finita. Esempi e controesempi. 29/02/2024 (11-12): Teorema di scambio. La cardinalita' di un insieme di vettori linearmente indipendenti e' minore o uguale alla cardinalita' di un insieme di generatori. Uno spazio vettoriale ha dimensione infinita se e solo se contiene insiemi di vettori linearmente indipendenti di ogni possibile cardinalita' finita. R come spazio vettoriale su Q non ha dimensione finita. Basi di uno spazio vettoriale di dimensione finita: definizione e esempi. Tutte le basi di uno spazio vettorialedi dimensione finita hanno la stessa cardinalita'. 04/03/2024 (13-14): Insiemi minimali di generatori e insiemi massimali di vettori linearmente indipendenti. Teorema di estrazione di una base. Teorema del completamento a una base. Teorema di esistenza di una base. Dimensione di uno spazio vettoriale di diemnsione finita. Come trovare una base del sottospazio generato da m vettori in K^n. Come completare k vettori linearmente indipendenti di K^n a una base. 08/03/2024 (15-16): Sistemi lineari non omogenei e Teorema di Rouche'-Capelli (enunciato in termini di pivot). Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi di K^n. 11/03/2024 (17-18): Come trovare besi dell'intersezione e della somma di due sottospazi di K^n. Formula di Grassmann. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Esempi. 15/03/2024 (19-20): Linearita' delle coordinate di un vettore rispetto a una base. Dato uno uno spazio vettorale V di dimensione n su K, considerando le coordinate dei vettori di V rispetto a una base fissata riusciamo a tradurre problemi su V in problemi su K^n. 18/03/2024 (21-22): Apllicazioni lineari: definizione, esempi e prime proprieta'. Moltiplicazione di una matrice per un vettore: le applicazioni lineari della forma L_A, con A matrice fissata. Lo spazio vettoriale Hom(V,W). La composizione di applicazioni lineari e' lineare. Applicazioni lineari definite su una somma diretta (proprietà universale della somma diretta). 19/03/2024 (23-24): Isomorfismi. Dato uno spazio vettoriale di dimensione n su K, prendendo le coordinate rispetto a una fissata base di V, si definisce un isomorfismo tra V e K^n. Due spazi vettoriali della stessa dimensione su K sono isomorfi. Nucleo e immagine di un'apllicazione lineare. Un'applicazione lineare e' iniettiva se e solo se il suo nucleo contiene solo il vettore nullo, e' suriettiva se solo se la sua immagine coincide con W. Un'applicazione lineare inettiva manda vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendenti. Un'applicazione lineare suriettiva manda un insieme di generatori in un insieme di generatori. Se due spazi vettoriali di dimensione finita su K sono isomorfi, allora hanno la stessa dimensione. Le immagini tramite un'applicazione lineare f:V->W dei vettori di una base di V generano l'immagine di f. Rango di un'applicazione lineare. Teorema del rango (enunciato). 25/03/2024 (25-26): Dimostrazione del Teorema del rango e suoi corollari. Data una base B di V, esiste un'unica applicazione lineare f:V->W che manda i vettori di B in vettori fissati di W. Matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a una base fissata del dominio e a una base fissata del codominio. 26/03/2024 (27-28): Dati due spazi vettoriali V e W di dimensione n e m su K, fissando una base di V e una base di W si definisce un isomorfismo tra Hom(V,W) e lo spazio delle matrici mxn a coefficienti in K. Come calcolare nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Esempi. Prodotto righe per colonne e sue proprieta'. La matrice associata alla composizione di due applicazioni lineari corrisponde al prodotto righe per colonne delle loro matrici associate. 04/04/2024 (29-30): Matrici invertibili. Una matrice quadrata di ordine n e' invertibile se e solo se le sue colonne formano una base di K^n. La trasposta di una matrice invertibile e' invertibile. Una matrice quadrata di ordine n e' invertibile se e solo se le sue righe formano una base di K^n. Algoritmo di Gauss-Jordan per il calcolo dell'inversa. 05/04/2024 (31-32): Matrice di cambiamento di base. Formula del cambiamento di coordinate. Formula del cambiamneto di base per applicazioni lineari. 11/04/2024 (33-34): Rango di una matrice. Il rango di una matrice e' uguale alla dimensione del sottospazio generato dalle sue colonne. Il rango di una matrice e' uguale al massimo ordine di una sua sottomatrice invertibile. Il rango di una matrice coincide con il rango della sua trasposta. Il rango di una matrice e' uguale alla dimensione del sottospazio generato dalle sue righe. Spazio vettoriale duale. Base duale. 12/04/2024 (35-36): Uno spazio vettoriale di dimensione finita e' isomorfo al suo duale. Biduale di uno spazio vettoriale. Isomorfismo canonico di uno spazio vettoriale di dimensione finita con il suo biduale. Applicazione lineare duale (o trasposta). Matrice che rappresenta l'applicazione lineare duale. 18/04/2024: Primo esonero 22/04/2024 (37-38): Determinante: sua definizione ricorsiva. Il determinante e' multilineare e alternante sulle colonne. 23/04/2024 (39-40): Proprieta' delle applicazioni multilineari e alternanti sulle colonne. Determinante e permutazioni. Teorema di unicita' del determinante. Svilluppo di Laplace rispetto a una riga. Il determinante di una matrice è uguale a quello della sua trasposta. Svilluppo di Laplace rispetto a una colonna. 29/04/2024 (41-42): Teorema di Binet. Una matrice e' invertibile se e solo se il suo determinante e' non nullo. Teorema degli orlati per il calcolo dei determinanti. 02/05/2024 (43-44): Metodo dei cofattori per il caloclo dell'inversa e regola di Cramer. Significato geometrico del determinante. Endomorfismi di uno spazio vettoriale. Il gruppo lineare. Matrici simili. 06/05/2024 (45-46): Diagonalizzazione. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Autospazi. Molteplicita' geometrica. 07/05/2024 (47-48): Autovettori relativi a autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Primo criterio di diagonalizzabilita'. Molteplicita' algebrica. Il polinomio caratteristico di un endomorfismo diagonalizzabile si spezza in fattori lineari. La molteplicita' algebrica e' maggiore o uguale alla molteplicita' geometrica. 09/05/2024 (49-50): Secondo criterio di diagonalizzabilita'. Esempi. 13/05/2024 (51-52):Polinomio minimo: esistenza e unicita'. Il polinomio minimo di f divide qualsiasi polinomio che si annulla in f. Gli autovalori di f sono tutte e sole le radici del polinomio minimo di f. 16/05/2024 (53-54):Teorema di Cayley-Hamilton (senza dimostrazione). Esempi sul calcolo del polinomio minimo. Sottospazi invarianti. Endomorfismi nilpotenti: definizione e condizioni equivalenti. 16/05/2024 (55-56): Decomposizione di Fitting per endomorfismi di spazi vettoriali di dimensione finita. Partizioni e diagrammi di Young. 20/05/2024 (57-58): Decomposizione di Jordan per endomorfismi nilpotenti. 23/05/2024 (59-60): Autospazi generalizzati. La dimensione dell'autospazio generalizzato e' uguale alla molteplicita' algebrica del suo autovalore. Un endomorfismo e' diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo si decompone in fattori lineari distinti. Forma canonica di Jordan.