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Diario delle lezioni di Geometria (Ingegneria Meccanica canale A-K) :

03/10/2022 (1-2): Richiami sugli insiemi e sui simboli matematici. Equazioni lineari. L'insieme R^n.
06/10/2022 (3-4): Sistemi di equazioni lineari. Somma di vettori in R^n e prodotto di un vettore in R^n per uno scalare. Sistema omogeneo associato a un dato sistema lineare. L'insieme S delle soluzioni di un fissato sistema lineare e l'insieme S_0 delle soluzioni del suo sistema omogeneo associato sono legati dalla seguente relazione: S=S_0+d, con d una qualsiasi soluzione in S. Matrice dei coefficienti e matrice completa di un sistema lineare.
10/10/2022 (5-6): Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare. Matrici quadrate, diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche. Matrice trasposta. Matrici a scala.
13/10/2022 (7-8): Un sistema a scala e' compatibile se e solo se il numero dei pivot della sua matrice dei coeffiecienti uguaglia il numero dei pivot della sua matrice completa. Risoluzione di sistemi lineari a scala.
17/10/2022 (9-10): Sistemi lineari equivalenti. Ogni sistema lineare e' equivalente ad un sistema lineare a scala. Risoluzione di sistemi lineari tramite il metodo di eliminazione di Gauss.
20/10/2022 (11-12): Prodotto righe per colonne, sue proprietà ed esempi. Definizione di matrice invertibile; l'inversa di una matrice, se esiste, e' unica. Invertibilità per matrici diagonali.
27/10/2022 (13-14): Una matrice quadrata A è invertibile se e solo se ogni sistema lineare che ha A come matrice dei coefficienti ammette un'unica soluzione. Una matrice di ordine n è invertibile se e solo se una sua riduzione a scala ha n pivot. Algoritmo di Gauss-Jordan per il calcolo dell'inversa. Il prodotto di matrici invertibili è invertibile.
31/10/2022 (15-16): Rango di una matrice: definizione, esempi e proprietà. Il rango di una matrice a scala è uguale al numero dei suoi pivot. Due matrici ottenute l'una dall'altra effettuando operazioni elementari sulle righe hanno lo stesso rango. Il rango di una matrice è uguale al numero dei pivot di una
sua riduzione a scala. Teorema di Rouche'-Capelli. Esercizi.
03/11/2022 (17-18-19): Determinante: definizione tramite lo sviluppo di Laplace. Teorema di Laplace (senza dimostrazione). Esempi. Il determinante di una matrice coincide con quello della sua trasposta. Il determinante di una matrice triangolare e' il prodotto degli elementi sulla sua diagonale principale. Proprietà del determinante. Esercizi.
07/11/2022 (20-21-22): Calcolo del determinante tramite la riduzione a scala. Una matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è non nullo. Teorema di Binet (senza dimostrazione) e determinante della matrice inversa. Matrice dei cofattori e matrice aggiunta. Calcolo della matrice inversa tramite il metodo dei cofattori. Regola di Cramer per la risoluzione di sistemi lineari di n equazioni in n incognite. Esercizi.
14/11/2022 (23-24): Spazi vettoriali: definizione ed esempi. Prodotto di due spazi vettoriali. Legge di cancellazione e altre proprietaà degli spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali: definizione ed esempi. L'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo è un sottospazio vettoriale di R^n.
17/11/2022 (25-26-27): Altri esempi e controesempi di sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Dipendenza e indipendenza lineare: definizione, proprietà ed esempi. Un vettore è linearmente se e solo se è nullo. Due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se sono proporzionali. k vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno di loro è combinazione lineare degli altri. Un insieme di k vettori in R^n è linearmente indipendente se e solo se la matrice ottenuta disponendoli per colonne ha rango k.
21/11/2022 (28-29): Sistemi di generatori: definizione ed esempi. Sottospazio generato da un insieme di vettori. Spazi vettoriali di dimensione finita. Basi: definizione ed esempi.
24/11/2022 (30-31-32): Teorema di esistenza di una base per spazi vettoriali di dimensione finita. Ogni insieme di generatori di uno spazio vettoriale contiene una base. Tutte le basi di uno spazio vettoriale V di dimensione finita hanno la stessa cardinalità, detta dimensione di V. La dimensione di V è uguale al massimo numero di vettori linearmente indipendenti in V e anche uguale alla minima cardinalità di un insieme di generatori di V. Corollario: n vettori linearmente indipendenti di R^n formano una base se e solo se il determinante della matrice ottenuta disponendoli per colonne ha determinante non nullo. Ogni insieme di vettori linearmente indipendenti di V può essere completato ad una base. Il rango di una matrice nxk è uguale alla dimensione del sottospazio di R^n generato dalle sue colonne e anche uguale alla dimensione del sottospazio di R^k generato dalle sue righe. Algoritmo per trovare una base di un sottospazio di R^n generato da un numero finito di vettori. Algoritmo per completare un insieme di vettori linearmente indipendenti ad una base di R^n. Esercizi.
28/11/2022 (33-34): Sottospazi di R^n: forma parametrica e forma cartesiana. Algoritmo per passare dalla forma cartesiana a quella parametrica e viceversa. Descrizione di tutti i sottospazi di R^2 e di R^3. Somma e intersezione di sottospazi. Formula di Grassmann. Come calcolare somma e intersezione di sottospazi di R^n.
01/12/2022 (35-36-37): Somma diretta di sottospazi. Esempi. Coordinate di un vettore rispetto a una base. Proprietà ed esempi. Dato uno uno spazio vettoriale V di dimensione n, considerando le coordinate dei vettori di V rispetto a una base fissata riusciamo a tradurre problemi su V in problemi su R^n. Esercizi.
05/12/2022 (38-39-40): Matrice di cambiamento di base. Formula del cambiamento di base per le coordinate di un vettore. La matrice di cambiamento di base da B a B' è invertibile e la sua inversa è la matrice di cambiamento di base da B' a B. Esempi. Applicazioni lineari: definizione, esempi e prime proprietà. Nucleo e immagine di un'apllicazione lineare f:V->W. L'applicazione f è iniettiva se e solo se il suo nucleo contiene solo il vettore nullo, è suriettiva se solo se la sua immagine coincide con W. Le immagini tramite f dei vettori di una base di V generano l'immagine di f. Teorema di nullità più rango.
12/12/2022 (41-42): Data una base B di V, esiste un'unica applicazione lineare f:V->W che manda i vettori di B in vettori fissati di W. Due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Matrice associata a un'applicazione lineare rispetto a una base fissata del dominio e a una base fissata del codominio. Come calcolare nucleo e immagine di un'applicazione lineare. Esempi.
15/12/2022 (43-44-45): Operazioni tra applicazioni lineari: somma, moltiplicazione per uno scalare, composizione. La matrice associata alla composizione di due applicazioni lineari corrisponde al prodotto righe per colonne delle loro matrici associate. Formula di cabiamento di base per applicazioni lineari e esempi. Esercizi.
19/12/2022 (46-47): Operatori lineari diagonalizzabili, autovalori e autovettori: definizione e esempi. Un operatore lineare è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di autovettori. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Polinomio caratteristico. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. Autospazio relativo ad un autovalore e molteplicità geometrica di un autovalore. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
22/12/2022 (48-49-50): Primo criterio di diagonalizzabilità: un operatore lineare su V è diagonalizzabile se e solo la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori uguaglia la dimensione di V. Se un operatore è diagonalizzabile, mettendo insieme le basi dei suoi autospazi si ottiene una base di autovettori. Esempi. Radici di un polinomio e loro molteplicità. Molteplicità algebrica di un autovalore. La molteplicità algebrica è maggiore o uguale a quella geometrica (senza dimostrazione). Secondo criterio di diagonalizzabilità.
09/01/2023 (51-52): Esercizi.
12/01/2023 (53-54-55): Esercizi.