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Diario delle lezioni di GE210

23/09/2024 (1-2): Introduzione al corso. Forme bilineari: definizione ed esempi. L'insieme delle forme bilineari su V e' uno spazio vettoriale sullo stesso campo di V. Forme bilineari simmetriche, antisimmetriche e alternanti. Alternante implica antisimmetrica; il viceversa e' vero se la caratteristica del campo e' diversa da 2. In caratteristica diversa da 2, ogni forma bilineare si scrive in modo unico come somma di una simmetrica e di una alternante.
26/09/2024 (3-4): Una forma bilineare e' univocamente determinata dai valori che assume sulle coppie di vettori di una fissata base. Matrice associata a una forma bilineare in una fissata base. Formula di cambimento di base per forme bilineari.
27/09/2024 (5-6): Matrici congruenti. Il rango e' un invariante per congruenza. Rango di una forma bilineare. Le applicazioni L_b e R_b da V al suo duale associate a una forma bilineare b su V. Radicale sinistro e radicale destro e loro dimensione. Forme bilineari non degeneri. Forme quadratiche: definizione ed esempi.
30/09/2024 (7-8-9-10): Forma quadratica indotta da una forma bilineare. In caratteristica diversa da 2 ogni forma quadratica e' indotta da una e una sola forma bilineare simmetrica (detta forma polare). Controesempi in caratteristica 2. Forme bilineari simmetriche: ortogonalita' di due vettori, sottospazio ortogonale a un sottoinsieme. Formula sulla dimensione dell'ortogonale a un sottospazio e suoi corollari. Cono dei vettori isotropi. Basi ortogonali. Teorema di Lagrange. In caratteriestica diversa da 2, ogni matrice simmetrica e' congruente a una matrice diagonale. Controesempi in caratteristica 2.
03/10/2024 (11-12): Dimostrazione costruttiva del Teorema di Lagrange. Teorema di Sylvester complesso.
04/10/2024 (13-14): Esercitazione.
07/10/2024 (15-16): Due matriici su C sono congruenti se e solo se hanno lo stesso rango. Caso reale: forme bilineari simmetriche (semi)definite positive/negative o indefinite. Prodotti scalari: definizione e esempi. Indici di positivita', negativita' e nullita'. Teorema di Sylvester reale.
Segnatura di forme bilineari simmetriche su spazi vettoriali reali, e di matrici simmetriche a coefficienti reali. Due matrici simmetriche reali sono congruenti se e solo se hanno la stessa segnatura.
11/10/2024 (17-18): Criterio si Sylvester o dei minorti principali.Proiezione ortogonale su un sottospazio, la restrizione al quale di una forma bilineare simmetrica b sia non degenere. Coefficienti di Fourier.
14/10/2024 (19-20-21-22): Sottospazi isotropi. Massima dimensione di un sottospazio isotropo nel caso non degenere. Proprieta' del doppio ortogonale. Spazi euclidei. Norma e sue proprieta' (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare). Basi ortonormali e algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Coordinate di un vettore rispetto a una base ortonormale.Operatori simmetrici e ortogonale. Un endomorfismo e' simmetrico/ortogonale se e solo se lo e' la matrice che lo rappresenta rispetto a una base ortonormale. Sottogruppi delle matrici ortogonali e delle matrici ortogonali speciali. Condizioni equivalenti affinche' una matrice sia ortogonale. Matrici ortogonali di ordine due.
18/10/2024 (23-24): Forme Hermitiane: definizione ed esempi. Aggiunta di una matrice e matrici hermitiane. Matrice associata a una forma hermitiana in una fissata base. e formula di cambiamento di base. Teorema di Sylvester hermitiano. Prodotti hermitiani e spazi vettoriali hermitiani: definizione ed esempi. Norma hermitiana e sue proprieta'.
21/10/2024 (25-26): Operatori hermitiani e unitari. Matrici unitarie. Tutti gli autovalori di un operatore hermitiano sono reali, e corollari. Per un operatore hermitiano/simmetrico, autovettori relativi ad autovaloridistinti sono ortogonali. L'ortogonale a un sottospazio f-invariante (con f hermitiano/simmetrico) e' anora f-invariante. Teorema spettrale per operatori hermitiani/simmetrici.
25/10/2024 (27-28): Applicazione aggiunta: esistenza, unicita’ e sue proprieta’. La matrice associata all’applicazione aggiunta di T rispetto a basi ortonormali e’ l’aggiunta della matrice associata all’applicazione T. Operatori e matrici normali. Un operatore e’ normale se e solo se lo e’ la matrice che lo rappresenta rispetto una base ortonormale.
28/10/2024 (29-30-31-32): Gli autovalori di un operatore normale sono i coniugati degli autovalori della sua applicazione aggiunta. Teorema spettrale per operatori normali su spazi hermitiani. Controesempio nel caso euclideo. Prodotto vettoriale in uno spazio euclideo di dimensione 3: definizione e proprieta’. Il prodotto vettoriale non dipende dalla base scelta ma solo dalla sua orientazione. Significato geometrico del prodotto vettoriale. Prodotto misto e suo significato geometrico.
04/11/2024 (33-34): Spazi affini: definizione, prime proprieta’ ed esempi. Dimensione di uno spazio affine. Riferimento affine e coordinate affini di un punto rispetto a un riferimento affine fissato. Formula di cambiamento di coordinate affini. Sottospazi affini: definizione, prime proprieta’ ed esempi. Un sottospazio affine e’ univocamente individuato dalla sua giacitura e da uno qualsiasi dei suoi punti. Definizione dello spazio vettoriale quoziente.
08/11/2024 (35-36): Esercizi di preparazione all'esonero.
18/11/2024 (37-38-39-40): Proprieta’ dello spazio vettoriale quoziente e suoi corollari (teoremi di isomorfismo). Conucleo di un’applicazione lineare. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. L’insieme non vuoto delle soluzioni di un sistema lineare definisce un sottospazio affine. Esempi: equazioni di sottospazi affini di un piano affine e di uno spazio affine. Posizione reciproca di sotttospazi affini: nozione di parallelismo, sottospazi affini sghembi e incidenti. Esempi in un piano affine e in uno spazio affine.
22/11/2024 (41-42): Se non vuota, l’intersezione di due sottospazi affini e’ un sottospazio affine. Sottospazio affine generato da un sottoinsieme finito di punti. Sottospazio congiungente due sottospazi affini. Formula di Grassmann affine. Punti in posizione generale in uno spazio affine. Isomorfismi di spazi affini e affinità Un’affinità’ e’ univocamente individuata dall’automorfismo associato e dell’immagine di un qualsiasi punto.
25/11/2024 (43-44): Gruppo delle affinità e sottogruppo delle traslazioni. Ogni affinità è composizione di un’affinità che fossa l’origine e di una traslazione. Sottoinsiemi affinemente equivalenti. In uno spazio affine di dimensione n , date due (n+1)-uple di punti in posizione generale, esiste un’unica affinità che porta la prima nella seconda. Due k-uple di punti in posizione generale sono affinemente equivalenti. Due sottospazi affini sono affinemente equivalenti se e solo se hanno la stessa dimensione. Fasci propri e impropri di iperpiani.
29/11/2024 (45-46): Definizione di spazio proiettivo. Riferimento proiettivo e coordinate omogenee di un punto rispetto a un riferimento proiettivo. Due basi proporzionali definiscono lo stesso riferimento proiettivo. Formula di cambiamento di coordinate omogenee. Sottospazi proiettivi e loro equazioni parametriche e cartesiane. Intersezione di sue sottospazi proiettivi e sottospazio congiungente. Posizione reciproca di sotttospazi proiettivi: sottospazi proiettivi sghembi e incidenti. Formula di Grassmann proiettiva.
02/12/2024 (47-48-49-50): Punti in posizione generale in uno spazio proiettivo. Punti fondamentali e punto unità di un riferimento proiettivo. Dare un riferimento proiettivo su uno spazio proiettivo di dimensione n equivale a dare n+2 punti ordinati in posizione generale. Isomorfismi di spazi proiettivi e proiettività. Gruppo delle proiettività. Matrice associata a una proiettività in un riferimento proiettivo fissato. Sottoinsiemi proiettivamente equivalenti. In uno spazio proettivo di dimensione n , date due (n+2)-uple di punti in posizione generale, esiste un’unica proiettività che porta la prima nella seconda. In uno spazio proiettivo di dimensione n, due k-uple di punti in posizione generale con k<=n+2 sono affinemente equivalenti. Birapporto.
06/12/2024 (51-52): Spazi proiettivi e spazi affini. Passaggio da coordinate omogenee a coordinate affini e viceversa. Carte affini e iperpiani impropri. Chiusura proiettiva di un sottospazio affine e suoi punti impropri. Dualità proiettiva. Iperpiani in posizione generale. Riferimento proiettivo duale.
09/12/2024 (53-54): Sistema lineare di iperpiani di centro un fissato sottospazio proiettivo. Centro di un sottospazio dello spazio proiettivo duale. Principio di dualità.
12/12/2024 (55-56): Classificazione proiettiva di coniche complesse e reali. Coniche affini e loro invariati. Coniche degeneri e non degeneri. Coniche a centro.
13/12/2024 (57-58): Esercizi.
16/12/2024 (59-60-61-62): Classificazione di coniche affini reali e complesse. Esercizi.