Anno Accademico 2021/2022FM 420 - Sistemi Dinamici
(CdL in Matematica)
Docente: Livia Corsi
Caratteristiche del corso
Contenuti
Geometria simplettica e formalismo Hamiltoniano. Capacita' simplettiche ed esistenza di soluzioni periodiche.
Programma d'esame
II Semestre - Crediti 6 CFU
Testo seguito
[Z]
E.
Zehnder - Lectures on Dynamical Systems
Modalita' degli esami
L'esame consiste nello svoglimento di esercizi a casa, e in un successivo colloquio orale, in cui lo studente dovra' presentare una tesina su un argomento a piacere.
Orari
Lezioni: Martedi' ore 14:00-16:00 e Giovedi' 10:00-12:00 (Aula M6), Venerdi' ore 16:00-18:00 (Aula M5)
Orario di ricevimento: Martedi' ore 16:00-18:00 oppure per appuntamento.
Prove d'esame
Da concordare
Diario delle lezioni
Lezione 1 (22-2)
Spazi simplettici. Esempi di spazi simplettici. Sottospazi e complementi simpletticamente ortogonali. Ogni spazio simplettico e' isomorfo allo spazio simplettico standard.
Lezione 2 (24-2)
Mappe simplettiche da uno spazio vettoriale in se'. Il gruppo Sp(n). k-forme lineari e loro pull-back. Il determinante di una matrice simplettica e' uguale a 1.
Lezione 3 (25-2)
Autovalori delle matrici simplettiche. Mappe simplettiche tra due spazie vettoriali : l'unico inveariante simplettico e' la dimensione. Il gruppo Sp(n) agisce transitivamente su R^{2n}\{01. k-forme differenziali su aperti di R^n (definizione).
Lezione 4 (1-3)
k-forme differenziali su aperti di R^n: prodotto esterno, pull-back via diffeomorfismi, derivata esterna e sua composizione col prodotto esterno e col pull-back.
Lezione 5 (3-3)
k-forme differenziali su aperti di R^n: prodotto interno, derivata di Lie e formula di Cartan. Lemma di Poincare'. Derivata di Lie di un campo vettoriale (definizione).
Lezione 6 (4-3)
Derivata di Lie di un campo vettoriale: proprieta'. Campi vettoriali che commutano.
Lezione 7 (8-3)
Varieta' differenziabili, k-forme su varieta', esistenza e unicita' della derivata esterna.
Lezione 8 (10-3)
Varieta' simplettiche, teorema di Darboux, mappe simplettiche tra varieta', il campo Hamiltoniano.
Lezione 9 (11-3)
Il flusso Hamiltoniano come mappa simplettica, pull-back di campi Hamiltoniani via mappe simplettiche. Parentesi di Poisson: definizione e proprieta'. Superfici di energia.
Lezione 10 (15-3)
Il teorema di Liouville sull'esistanza di una misura sulle superfici di energia che sia invariante lungo il flusso hamiltoniano.
Lezione 11 (17-3)
Funzioni generatrici di mappe simplettiche. Le trasformazioni simplettiche elementari.
Lezione 12 (18-3)
Tutte le mappe simplettiche ammettono una generatrice "di seconda specie" a meno di una trasformazione simplettica elementare. Il teorema di Liouville sull'estensione di una mappa a una mappa simplettica.
Lezione 13 (22-3)
Integrali primi di sistemi dinamici. Sistemi hamiltoniani integrabili e variabili azione-angolo.
Lezione 14 (24-3)
Teorema di Arnol'd-Jost: enunciato e inizio della dimostrazione.
Lezione 15 (25-3)
Teorema di Arnol'd-Jost: fine della dimostrazione.
Lezione 16 (29-3)
Teorema di Moser: l'unico invariante delle forme di volume e' il volume totale. E' vero anche nel caso simplettico? Esempio: il cilindro isotropo si immerge simpletticamente in qualsiasi sfera, mentre il cilindro simplettico "forse" no ("sembra" esserci una condizione sui raggi). Questioni sull'esistenza di orbite periodiche vicino a superfici di energia compatte: caratteristiche chiuse del fibrato rettilineo canonico.
Lezione 17 (31-3)
Connessione tra dinamica e geometria: integrale d'azione. Capacita' simplettiche: definizione e prime proprieta'.
Lezione 18 (1-4)
Ancora proprieta' delle capacita' simplettiche. Il teorema di Gromov assumendo l'esistenza di una capacita' simplettica. L'ampiezza di Gromov. La capacita' di Hofer-Zehnder: definizione e proprieta'.
Lezione 19 (12-4)
La capacita' di Hofer-Zehnder soddisfa le proprieta' di monotonia e conformalita' della definizione di capacita' simplettica. La capacita' di Hofer-Zehnder della palla di raggio 1 e' maggiore o uguale di pigreco.
Lezione 20 (21-4)
La dimostrazione del fatto che la capacita' di Hofer-Zehnder soddisfa la normalizzazione si riduce alla ricerca di punti critici del funzionale di azione su Omega:=C^\infty(T,R^{2n}). Sistemi gradiente su spazi di Hilbert e condizione di Palais-Smale.
Lezione 21 (22-4)
Principio del minimax e lemma del passo montano su spazi di Hilbert. Gli spazi H^s(T,R^{2n}): forma quadratica di H^{1/2}(T,R^{2n})
Lezione 22 (26-4)
Analisi funzionale degli spazi H^s(T,R^{2n}) ed estensione del funzionale di azione su H^{1/2}(T,R^{2n}).
Lezione 23 (28-4)
I punti critici del funzionale di azione su H^{1/2}(T,R^{2n}) sono in C^\infty(T,R^{2n}). Il funzionale d'azione soddisfa Palais-Smale. Formula di rappresentazione del flusso gradiente del funzionale d'azione.
Lezione 24 (29-4)
Costruzione di una famiglia positivamente invariante per il flusso gradiente del funzionale d'azione. Grado di Brouwer (solo enunciato).
Lezione 25 (3-5)
Grado di Leray-Shauder e dimostrazione dell'esistenza del punto critico del funzionale d'azione su H^{1/2}(T,R^{2n}).
Lezione 26 (5-5)
Teorema di Hofer-Zehnder sull'esistenza di un insieme denso di superfici di energia che ammettono un'orbita periodica.
Lezione 27 (17-5)
Teorema di Macarini-Schlenk sull'esistenza di un insieme di misura piena di superfici di energia che ammettono un'orbita periodica. Superfici "contact-type": definizione ed esempi.
Lezione 28 (19-5)
Teorema di Hofer-Zehnder sull'esistenza di almeno un'orbita periodica su una superficie di energia "contact-type". Teorema di caratterizzazione di superfici "contact-type" in termini della 1-forma di Liouville.
Lezione 29 (20-5)
Metodo di continuazione di Poincare' sull'e esistenza di una famiglia a un parametro di orbite periodiche vicine ad un'orbita periodica data.
Lezione 30 (24-5)
Superfici trasverse a superfici di energia, mappa di Poincare', suoi moltiplicatori di Floquet e stabilita' di orbite periodiche.