Anno Accademico 2024/2025FM 420 - Sistemi Dinamici
(CdL in Matematica)
Docente: Livia Corsi
Caratteristiche del corso
Contenuti
Geometria simplettica e formalismo Hamiltoniano. Capacita' simplettiche ed esistenza di soluzioni periodiche.
Programma d'esame
II Semestre - Crediti 6 CFU
Testo seguito
[Z]
E. Zehnder - Lectures on Dynamical Systems
Modalita' degli esami
L'esame consiste nello svoglimento di esercizi a casa, assegnati settimanalmente via teams, e in un successivo colloquio orale, in cui lo studente dovra' presentare una tesina su un argomento a piacere.
Orari
Lezioni:
Mercoledi' ore 16:00-18:00 (Aula108),
Giovedi' ore 16:00-18:00 (Aula F),
Venerdi' ore 14:00-16:00 (Aula L)
Orario di ricevimento:
Venerdi' ore 16:00-18:00 oppure per appuntamento.
Prove d'esame
Da concordare
Diario delle lezioni (tentativo)
Lezione 1 (26/2)
Spazi simplettici. Esempi di spazi simplettici. Sottospazi e complementi simpletticamente ortogonali. Ogni spazio simplettico e' isomorfo allo spazio simplettico standard.
Lezione 2 (27/2)
Mappe simplettiche da uno spazio vettoriale in se'. Il gruppo Sp(n). k-forme lineari e loro pull-back. Il determinante di una matrice simplettica e' uguale a 1.
Lezione 3 (28/2)
Autovalori delle matrici simplettiche. Mappe simplettiche tra due spazie vettoriali: l'unico invariante simplettico e' la dimensione. Il gruppo Sp(n) agisce transitivamente su R^{2n}\{0}. k-forme differenziali su aperti di R^n: definizione, prodotto esterno, pull-back e derivata esterna (prime proprieta').
Lezione 4 (5/3)
Derivata esterna e sua composizione col prodotto esterno e col pull-back. k-forme differenziali su aperti di R^n: prodotto interno, derivata di Lie e formula di Cartan. Lemma di Poincare'.
Lezione 5 (6/3)
Derivata di Lie di un campo vettoriale: definizione e proprieta'. Campi vettoriali che commutano.
Lezione 6 (7/3)
k-forme su varieta' differenziabili, esistenza e unicita' della derivata esterna. Varieta' simplettiche e teorema di Darboux.
Lezione 7 (12/3)
Mappe simplettiche tra varieta', il campo Hamiltoniano. Il flusso Hamiltoniano come mappa simplettica, pull-back di campi Hamiltoniani via mappe simplettiche.
Lezione 8 (13/3)
Parentesi di Poisson: definizione e proprieta'. Superfici di energia. Il teorema di Liouville sull'esistanza di una misura sulle superfici di energia che sia invariante lungo il flusso hamiltoniano.
Lezione 9 (14/3)
Funzioni generatrici di mappe simplettiche. Le trasformazioni simplettiche elementari.
Lezione 10 (19/3)
Tutte le mappe simplettiche ammettono una
generatrice "di seconda specie" a meno di una trasformazione
simplettica elementare. Il teorema di Liouville
sull'estensione di una mappa a una mappa simplettica. Integrali
primi di sistemi dinamici. Sistemi hamiltoniani integrabili e
variabili azione-angolo.
Lezione 11 (20/3)
Teorema di Arnol'd-Jost: enunciato e inizio della dimostrazione.
Lezione 12 (21/3)
Teorema di Arnol'd-Jost: seguito della dimostrazione.
Lezione 13 (26/3)
Teorema di Arnol'd-Jost: fine della dimostrazione. Teorema di Moser: l'unico invariante delle forme di volume e' il volume totale. Esempio: il cilindro isotropo si immerge simpletticamente in qualsiasi sfera, mentre il cilindro simplettico "forse" no ("sembra" esserci una condizione sui raggi). Questioni sull'esistenza di orbite periodiche vicino a superfici di energia compatte: caratteristiche chiuse del fibrato rettilineo canonico.
Lezione 14 (27/3)
Connessione tra dinamica e geometria: integrale d'azione. Capacita' simplettiche: definizione e prime proprieta'.
Teorema di Arnol'd-Jost: enunciato e inizio della dimostrazione.
Lezione 12 (21/3)
Teorema di Arnol'd-Jost: seguito della dimostrazione.
Lezione 13 (26/3)
Teorema di Arnol'd-Jost: fine della dimostrazione. Teorema di Moser: l'unico invariante delle forme di volume e' il volume totale. Esempio: il cilindro isotropo si immerge simpletticamente in qualsiasi sfera, mentre il cilindro simplettico "forse" no ("sembra" esserci una condizione sui raggi). Questioni sull'esistenza di orbite periodiche vicino a superfici di energia compatte: caratteristiche chiuse del fibrato rettilineo canonico.
Lezione 14 (27/3)
Connessione tra dinamica e geometria: integrale d'azione. Capacita' simplettiche: definizione e prime proprieta'.
Lezione 15 (28/3)
Ancora proprieta' delle capacita' simplettiche. Il teorema di Gromov assumendo l'esistenza di una capacita' simplettica. L'ampiezza di Gromov.
Lezione 16 (2/4)
Ancora proprieta' delle capacita' simplettiche. Il teorema di Gromov assumendo l'esistenza di una capacita' simplettica. L'ampiezza di Gromov. La capacita' di Hofer-Zehnder: definizione e proprieta'. La capacita' di Hofer-Zehnder soddisfa la proprieta' di monotonia
Lezione 17 (3/4)
La capacita' di Hofer-Zehnder soddisfa la proprieta' di conformalita'. La capacita' di Hofer-Zehnder della palla di raggio 1 e' maggiore o uguale di pigreco. La dimostrazione del fatto che la capacita' di Hofer-Zehnder soddisfa la normalizzazione si riduce alla ricerca di punti critici del funzionale di azione su Omega:=C^\infty(T,R^{2n}).
Lezione 18 (4/4)
Sistemi gradiente su spazi di Hilbert e condizione di Palais-Smale. Principio del minimax e lemma del passo montano su spazi di Hilbert.
Lezione 19 (9/4)
Gli spazi H^s(T,R^{2n}): forma quadratica di H^{1/2}(T,R^{2n}). Analisi funzionale degli spazi H^s(T,R^{2n})
Lezione 20 (10/4)
Estensione del funzionale di azione su H^{1/2}(T,R^{2n}).
Lezione 21 (11/4)
I punti critici del funzionale di azione su H^{1/2}(T,R^{2n}) sono in C^\infty(T,R^{2n}). Il funzionale d'azione soddisfa Palais-Smale. Formula di rappresentazione del flusso gradiente del funzionale d'azione.
Lezione 22 (16/4)
Costruzione di una famiglia positivamente invariante per il flusso gradiente del funzionale d'azione. Grado di Brouwer (solo enunciato).
Lezione 23 (24/4)
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Lezione 24 (??)
Grado di Leray-Shauder e dimostrazione dell'esistenza del punto critico del funzionale d'azione su H^{1/2}(T,R^{2n}).
Lezione 24 (??)
Grado di Leray-Shauder e dimostrazione dell'esistenza del punto critico del funzionale d'azione su H^{1/2}(T,R^{2n}).
Lezione 25 (??)
Teorema di Hofer-Zehnder sull'esistenza di un insieme denso di superfici di energia che ammettono un'orbita periodica.
Lezione 26 (??)
Teorema di Macarini-Schlenk sull'esistenza di un insieme di misura piena di superfici di energia che ammettono un'orbita periodica. Superfici "contact-type": definizione ed esempi.
Lezione 27 (??)
Teorema di Hofer-Zehnder sull'esistenza di almeno un'orbita periodica su una superficie di energia "contact-type". Teorema di caratterizzazione geometrica delle di superfici "contact-type" in termini della 1-forma di Liouville.
Lezione 28 (??)
Metodo di continuazione di Poincare' sull'e esistenza di una famiglia a un parametro di orbite periodiche vicine ad un'orbita periodica data.
Lezione 29 (??)
Superfici trasverse a superfici di energia, mappa di Poincare', suoi moltiplicatori di Floquet e stabilita' di orbite periodiche.
Lezione 30 (??)
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