Anno Accademico 2024/2025

Caratteristiche del corso

Contenuti
Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.
Programma d'esame

I Semestre - Crediti 9 CFU


Testi consigliati
L'insegnamento si basa essenzialmente sui testi 

[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations

Si possono trovare esercizi riguardanti gli argomenti del corso sui testi
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations

Modalita' degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, eventualmente sostituita da due prove di esonero in itinere, e in un successivo colloquio orale,
in cui lo studente dovra' discutere gli argomenti trattati a lezione.

Orari

Lezioni (Aula M4): Mercoledi' ore 16:00-18:00, Giovedi' ore 9:00-11:00, Venerdi' ore 11:00-13:00
Orario di ricevimento:  per appuntamento.


Prove d'esonero e prove d'esame

Prove d'esonero
Esonero I: TBA
Esonero II: TBA

Prove d'esame
Appello I: TBA
Appello II: TBA
Appello III: TBA
Appello Laureandi: TBA
Appello IV: TBA




Diario delle lezioni

Lezione 1 (25-9)
Introduzione alle PDE; l'esempio delle mappe conformi; l'operatore "Laplaciano"; dimostrazione dell'invarianza per rototraslazioni del Laplaciano.


Lezione 2 (26-9)
L'equazione dell'area minima. Classificazione delle PDE. L'equazione del trasporto in una dimensione; definizione della trasformata di Fourier.


Lezione 3 (27-9)
L'equazione del trasporto in una dimensione: risoluzione dell'equazione del trasporto mediante trasformata di Fourier nel caso in cui la velocita' di
trasporto non dipende dalla variabile spaziale.  Il metodo delle caratteristiche per l'equazione del trasporto in una dimensione. Leggi di conservazione in una dimensione.


Lezione 4 (2-10)
Derivazione microscopica dell'equazione delle onde. La formula di D'Alembert: derivazione e prime proprieta'. Il cono di luce


Lezione 5 (3-10)
Esercizi


Lezione 6 (4-10)
Il principio di Huygens. Definizione dell'energia e unicita' della soluzione dell'equazione delle onde su R. Derivazione microscopica dell'energia come limite
dell'energia di N oscillatori armonici. Principio di equipartizione dell'energia.


Lezione 7 (9-10)
Equazione delle onde su R non-omogenea: il principio di Duhamel.

Lezione 8 (10-10)
Esercizi


Lezione 9 (11-10)
Lo spazio L^2)=_0([0,L]) e la base - ortonormale - dei seni; riduzione dell'equazione delle onde a una famiglia di infiniti oscillatori armonici disaccoppiati: soluzione mediante serie di Fourier.


Lezione 10 (16-10)
Dati al bord di Neumann. Dati al bordo non omogenei.


Lezione 11 (17-10)
Esercizi


Lezione 12 (18-10)
L'equazione delle onde su R^n: medie sferiche ed equazione di Euler-Poisson-Darboux. Formula di Kirchhoff nel caso n=3 e discussione
del caso generale


Lezione 13 (23-10)
Processi di diffusione: l'equazione del calore su R; invarianza delle soluzioni per riscalamento Browniano; soluzione mediante trasformata di Fourier; prime proprieta' del nucleo del calore.


Lezione 14 (24-10)
Esercizi


Lezione 15 (25-10)
Operatori di convoluazione; unicita' della soluzione dell'equazione del calore (dimostrazione sbagliata di proposito)


Lezione 16 (30-10)
Il principio del massimo su R; unicita' della soluzione dell'equazione del calore (dimostrazione corretta) nello spazio delle funzioni limitate.
Non unicita' delle soluzioni illimitate (esempio di Tychonoff).


Lezione 17 (31-10)
Esercizi


Lezione 18 (7-11)
Esercizi


Lezione 19 (8-11)
Equazione del calore sulla semiretta. Il caso forzato. Principio di Duhamel.
Identita' di Geen. Interpretazione probabilistica dell'equazione del calore


Lezione 20 (13-11)
Momenti k-esimi della soluzione dell'equazione del calore. Stime a priori sulle norme L^2 e L^1 della soluzione. Entropia


Lezione 21 (20-11)
L'equazione del calore come sistema gradiente e quella delle onde come sistema Lagrangiano