Anno Accademico 2023/2024FM 310 - Istituzioni di Fisica Matematica
(CdL in Matematica)
Docenti: Livia Corsi & Giovanna Marcelli
Caratteristiche del corso
Contenuti
Equazioni di evoluzione della Fisica Matematica: trasporto, onde e calore. Introduzione alla meccanica quantistica. Trasformate di Fourier.
Programma d'esame
I Semestre - Crediti 9 CFU
Testi consigliati
L'insegnamento si basa essenzialmente sui testi
[B]
P.
Butta', Note del corso di Fisica Matematica
[Cr]
W.
Craig, A course on Partial Differential Equations
Si
possono
trovare esercizi riguardanti gli argomenti del
corso sui testi
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[Cr] W. Craig, A course on Partial Differential Equations
[G]
G.
Gaeta, Esercizi sulle equazioni delle
caratteristiche
Modalita' degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, eventualmente sostituita da due prove di esonero in itinere, e in un successivo colloquio orale,
in cui lo studente dovra' discutere gli argomenti trattati a lezione.
Orari
Lezioni: Lunedi' ore 14:00-16:00 (Aula M4), Mercoledi' ore 14:00-16:00 (Aula M4), Venerdi' ore 14:00-16:00 (Aula M4)
Orario di ricevimento: per appuntamento.
Prove d'esonero e prove d'esame
Prove d'esonero
Esonero I: 7-11-2023, ore 11:00-14:00, Aula E - risultati
Esonero II: TBA
Prove d'esame
Appello I: TBA
Appello II: TBA
Appello III: TBA
Appello Laureandi: TBA
Appello IV: TBA
Diario delle lezioni
Lezione 1 (18-9)
Introduzione alle PDE; l'esempio delle mappe conformi; l'operatore "Laplaciano"; dimostrazione dell'invarianza per rototraslazioni del Laplaciano.
Lezione 2 (20-9)
L'equazione dell'area minima. Classificazione delle PDE. L'equazione del trasporto in una dimensione; definizione della trasformata di Fourier.
Lezione 3 (22-9)
L'equazione del trasporto in una dimensione: risoluzione dell'equazione del trasporto mediante trasformata di Fourier nel caso in cui la velocità di
trasporto non dipende dalla variabile spaziale. Il metodo delle caratteristiche per l'equazione del trasporto in una dimensione. Leggi di conservazione in una dimensione.
Lezione 4 (25-9)
Esercizi sull'equazione del trasporto.
Lezione 5 (27-9)
Derivazione microscopica dell'equazione delle onde. La formula di D'Alembert: derivazione e prime proprietà. Il cono di luce.
Lezione 6 (29-9)
Il principio di Huygens. Definizione dell'energia e unicità della soluzione dell'equazione delle onde su R. Derivazione microscopica dell'energia come limite
dell'energia di N oscillatori armonici. Principio di equipartizione dell'energia.
Lezione 7 (2-10)
Equazione delle onde su R non-omogenea: il principio di Duhamel.
Lezione 8 (4-10)
Dati al bordo; il metodo delle immagini per
l'equazione delle onde sulla semiretta con dato di Dirichlet
al bordo. L'equazione delle onde su un intervallo
con dato di Dirichlet al bordo: separazione di
variabili.
Lezione 9 (6-10)
Esercizi
Lezione 10 (9-10)
Lezione 10 (9-10)
Dati al bordo; lo spazio L^2([0,L]), la base -
ortonormale - dei seni e la riduzione dell'equazione a una
famiglia di infiniti oscillatori armonici disaccoppiati:
soluzione mediante serie di Fourier. Dati al bordo non
omogenei.
Lezione 11 (11-10)
Lezione 11 (11-10)
L'equazione delle onde su R^n: medie sferiche
ed equazione di Euler-Poisson-Darboux
Lezione 12 (13-10)
Lezione 12 (13-10)
L'equazione delle onde su R^n: formula di
Kirchhoff
Lezione 13 (16-10)
Lezione 13 (16-10)
Esercizi
Lezione 14 (18-10)
Esercizi
Lezione 15 (20-10)
Operatori di convoluazione; unicita' della soluzione dell'equazione del calore (dimostrazione sbagliata di proposito)
Lezione 18 (27-10)
Esercizi
Lezione 19 (30-10)
Il principio del massimo su R; unicita' della soluzione dell'equazione del calore (dimostrazione corretta) nello spazio delle funzioni limitate.
Non unicita' delle soluzioni illimitate (esempio di Tychonoff).
Lezione 20 (3-11)
Esercizi
Lezione 21 (13-11)
Equazione del calore sulla semiretta. Il caso forzato. Principio di Duhamel. Calore su dominio limitato.
Lezione 22 (15-11)
Identita' di Geen. Interpretazione probabilistica dell'equazione del calore: momenti k-esimi della soluzione. Stime a priori sulle norme L^2 e L^1 della soluzione.
Lezione 23 (17-11)
Entropia del calore. L'equazione del calore come sistema gradiente.
Lezione 24 (20-11)
Equazione del calore in R^n. Discussione sul caso di dominio limitato. Equazione di Laplace: formule di Green e principio del massimo.
Lezione 25 (22-11)
Spazi di Schwartz: definizione e proprieta'.
Lezione 26 (24-11)
Trasformata e antitrasformata di Fourier in spazi di Scwartz.
Lezione 27 (27-11)
Trasformata e antitrasformata di Fourier in L^2 e L^1
Lezione 28 (29-11)
Esercizi.
Lezione 15 (20-10)
Esercizi
Lezione 16 (23-10)
Lezione 17 (25-10)Lezione 16 (23-10)
Processi di diffusione: l'equazione del calore
su R; invarianza delle soluzioni per riscalamento
Browniano; soluzione mediante trasformata di Fourier;
prime proprieta' del nucleo del calore.
Operatori di convoluazione; unicita' della soluzione dell'equazione del calore (dimostrazione sbagliata di proposito)
Lezione 18 (27-10)
Esercizi
Lezione 19 (30-10)
Il principio del massimo su R; unicita' della soluzione dell'equazione del calore (dimostrazione corretta) nello spazio delle funzioni limitate.
Non unicita' delle soluzioni illimitate (esempio di Tychonoff).
Lezione 20 (3-11)
Esercizi
Lezione 21 (13-11)
Equazione del calore sulla semiretta. Il caso forzato. Principio di Duhamel. Calore su dominio limitato.
Lezione 22 (15-11)
Identita' di Geen. Interpretazione probabilistica dell'equazione del calore: momenti k-esimi della soluzione. Stime a priori sulle norme L^2 e L^1 della soluzione.
Lezione 23 (17-11)
Entropia del calore. L'equazione del calore come sistema gradiente.
Lezione 24 (20-11)
Equazione del calore in R^n. Discussione sul caso di dominio limitato. Equazione di Laplace: formule di Green e principio del massimo.
Lezione 25 (22-11)
Spazi di Schwartz: definizione e proprieta'.
Lezione 26 (24-11)
Trasformata e antitrasformata di Fourier in spazi di Scwartz.
Lezione 27 (27-11)
Trasformata e antitrasformata di Fourier in L^2 e L^1
Lezione 28 (29-11)
Esercizi.