AL310 - Istituzioni di Algebra Superiore

Dipartimento di Matematica e Fisica
Università degli studi Roma Tre
Corso di Laurea Triennale in Matematica
 

Ricevimento studenti


Orario delle esercitazioni:
Martedì 16:00-18:00  Aula F  (a settimane alterne)


Prossima lezione:
Martedì 14 Ottobre 2014
ore 16:00 - 18:00  Aula F


Diario delle lezioni:

LEZIONE 1
Argomenti:  Irriducibilità dei polinomi a coefficienti in \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{C}\) e \(\mathbb{Z}_p\). Varie tecniche di fattorizzazione e test di irriducibilità: Teorema di Ruffini, test delle radici razionali, Lemma di Gauss, Criterio di Eisenstein, metodo della forza bruta, riduzione modulo un primo. Teorema fondamentale dell'algebra e teorema di D'Alembert. Costruzione di campi con otto e nove elementi. Richiami sugli anelli quozienti di polinomi.
Esercizi 1

LEZIONE 2
Argomenti: Estensioni semplici. Teorema di moltiplicatività dei gradi delle estensioni successive. Teorema delle due estensioni successive di gradi coprimi. Campi di spezzamento in caratteristica zero o prima. Un polinomio biquadratico irriducibile su \(\mathbb{Q}\) ha campo di spezzamento di grado \(4\) oppure \(8\) su \(\mathbb{Q}\) . Estensioni biquadratiche di \(\mathbb{Q}\). Enunciato del teorema di Frobenius per la determinazione del campo di spezzamento in caratteristica finita. 

LEZIONE 3
Argomenti: Estensioni algebriche e trascendenti. Immersioni in \(\mathbb{C}\) ed estensioni di omomorfismi. Introduzione al concetto di normalità. Automorfismi di campi di spezzamento. Il gruppo di Galois.

LEZIONE 4
Argomenti: Polinomi simmetrici. Teorema fondamentale dei polinomi simmetrici. Polinomi simmetrici elementari e polinomi simmetrici di Newton. Formule di Newton. Sistemi simmetrici. Problema di Newton. Discriminanti di polinomi.

LEZIONE 5
Argomenti: Corrispondenza di Galois per il polinomio \(x^4-2\). Se un polinomio irriducibile di grado un numero primo \(p\) ammette esattamente due radici complesse non reali, allora il suo gruppo di Galois è \(S_p\).

LEZIONE 6
Argomenti: Corrispondenza di Galois per il campo di spezzamento del quindicesimo polinomio ciclotomico. Corrispondenza di Galois per l'estensione \(\mathbb F_2\subset\mathbb F_{64}\). Campi finiti e gruppi ciclici: teoremi di struttura. Polinomi irriducibili su campi finiti. Regola dei segni di Harriot-Descartes. Costruzione di polinomi irriducibili con gruppo di Galois totale.


Libro di testo adottato: