ST410: Diario lezioni, I semestre 2019-2020

• Lezione 1 (25 settembre). Modello di campionamento casuale a popolazione finita e infinita. Richiami delle principali distribuzioni di probabilità: Bernoulli, Geometrica, Esponenziale, Poisson, Uniforme e Normale. Introduzione a modello statistico e classificazione tra modelli parametrici e non parametrici, e modelli identifiabili e non identifiabile.
• Lezione 2 (27 settembre). Definizione di statistica e esempi. Definizione di statistica sufficiente e esempi.
• Lezione 3 (2 ottobre). Teorema della fattorizzazione di Neyman-Fisher, con dimostrazione nel caso discreto. Trasformazione biunivoca di una statistica sufficiente e' anche una statistica sufficiente. Definizione di statistiche sufficienti minimali. Teorema di Lehmann-Scheffé per statistiche sufficienti minimali.
• Lezione 4 (4 ottobre). Dimostrazione del Teorema di Lehmann-Scheffé. Esempi e esercizi di statistica minimale. Trasformazione biunivoca di una statistica sufficiente minimale e' anche una statistica sufficiente minimale.
• Lezione 5 (8 ottobre). Definizione di stimatori e stimatori non distorti. La media campionaria e la varianza campionaria sono stimatori non distorti. Definizione di rischio quadratico e decomposizione distorzione-varianza del rischio quadratico. Convergenza in probabilità e stimatori consistenti. Disuguaglianza di Markov e Chebyshev, e la dimostrazione che se il rischio quadratico di un stimatore va a zero, allora il stimatore è consistente.
• Lezione 6 (9 ottobre). La varianza campionaria è un stimatore consistente. Stimatori dei momenti. Funzione di massima verosimiglianza e log-massima verosimiglianza. Definizione di stimatori di massima verosimiglianza.
• Lezione 7 (11 ottobre). Esercizi per calcolo del stimatore di massima verosimiglianza. Proprietà di invarianza del stimatore di massima verosimiglianza. Il stimatore di massima verosimiglianza, quando unico, è funzione di tutte le statistiche sufficienti.
• Lezione 8 (16 ottobre). Stimatore di massima verosimiglianza con piu di un parametro. Algoritmo EM.
• Lezione 9 (18 ottobre). Disuguaglianza di Jensen. Dimostrazione che ogni passo del Algoritmo EM aumenta il valore della funzione di verosimiglianza. Esempio del uso del algoritmo EM per una mistura di distribuzioni.
• Lezione 10 (22 ottobre). Stimatore di Bayes: distribuzione a priori, distribuzione a posteriori e distribuzione coniugate. Distribuzioni Beta e Gamma.
• Lezione 11 (23 ottobre). Stimatore di Bayes è funzione di ogni statistica sufficiente. Teorema di Rao-Blackwell. Stimatore UMVUE e unicità dei stimatori UMVUE. Statistica completa.
• Lezione 12 (25 ottobre). Esempio di statistica completa e non completa. Definizione di statistica completa limitata e il Teorema di Bahadur. Teorema di Lehmann-Scheffá per la costruzione di stimatore UMVUE tramite l'applicazione di Rao-Blackwell con una statistica completa. Informazione di Fisher, stimatore efficiente e il Teorema di Cramer-Rao.
• Lezione 13 (29 ottobre). Famiglia Esponenziale. Intervallo di confidenza. Intervallo di confidenza per la media di una distribuzione normale con varianza nota. Distribuzioni χ² e t-Student. Intervallo di confidenza per la media di una distribuzione normale con varianza incognita. Convergenza di variabili aleatorie in distribuzione e il teorema del limite centrale.
• Lezione 14 (30 ottobre). Metodo della quantità pivotale. Intervallo di confidenza per la esponenziale, per la varianza della normale e per la uniforme. Strategia di trovare il intervallo di confidenza più piccolo. Metodo della quantità pivotale per la funzione cummulativa.
• Lezione 15 (05 novembre). Dimostrazione del teorema per il intervallo più piccolo con livello di confidenza γ quando la distribuzione è unimodale. Metodi asintotici: teorema di Slutsky e convergenza a una normale usando stimatore consistente per la varianza.
• Lezione 16 (06 novembre). Il metodo delta (con idea della dimostrazione). Convergenza di stimatori efficienti e stimatori di massima verosimiglianza alla normale. Intervallo di confidenza per stimatore di Bayes. Introduzione alla verifica di ipotese.
• Lezione 17 (08 novembre). Il rapporto di verosimiglianza e il test usando il rapporto di verosimiglianza. Rilazione tra la verifica di ipotese e il intervallo di confidenza.
• Lezione 18 (19 novembre). Test Z e test T. Come ottenere un rapporto di verosimiglianza dal intervallo di confidenza.
• Lezione 19 (20 novembre). Verifica d'ipotese per l'esponenziale. Funzione di potenza e test uniformemente più potente. Lemma di Neyman-Pearson con dimostrazione. Proprietà del rapporto di verosimiglianza monotono e il Teorema di Karlin-Rubin. La proprietà del rapporto di verosimiglianza monotono per una statistica sufficiente implica che la densità della statistica ha rapporto di verosimiglianza monotono.
• Lezione 20 (22 novembre). Dimostrazione del teorema di Karlin-Rubin e generalizzazione per i casi di rapporto non-crescente e/o ipotese nulla del tipo θ > θ₀. Esempi di distribuzione con rapporto monotono, includendo la famiglia esponenziale con parametro unidimensionale.
• Lezione 21 (27 novembre). Analisi di varianza (ANOVA). Definizione di "one way ANOVA". Decomposizione della varianza campionaria globale (S²) sotto l'ipotese nulla. Distribuzione di Fisher.
• Lezione 22 (29 novembre). Continuazione e esempi su analisi di varianza (ANOVA). Dimostrazione che il test F è il test via rapporto di verosimiglianza.
• Lezione 23 (04 dicembre). Paradosso di Simpson. Regressione lineare e i suoi stimatori di massima verosimiglianza. Valore atesso e varianza dei stimatori di massima verosimiglianza per la regressione lineare.
• Lezione 24 (06 dicembre). Regressione lineare: intervallo di confidenza, verifica d'ipotese e previsione di valore future.
• Lezione 25 (10 dicembre). Introduzione alla regressione lineare multipla, regressione lineare generalizzata, regressione di Poisson e regressione logistica.
• Lezione 26 (11 dicembre). Test di Pearson (Test χ², test goodness-of-fit).
• Lezione 27 (13 dicembre). Esempio per il test χ² per la riduzione nel numero di parametri. Tabella di contingenza.
• Lezione 28 (17 dicembre). Test di Kolmogorov-Smirnov. Esercizio sul programma del corso.
• Lezione 29 (18 dicembre). Esercizio sul programma del corso.
• Lezione 30 (21 gennaio). Progetto del corso.