AM210 - Analisi matematica 3
Docente: Michela Procesi
Esercitatore: Fabio Felici
Tutorato: Davide Ciaccia, Elia Onofri
AA 2018-19 - I Semestre
Libri consigliati: Chierchia, Analisi Matematica II, Giusti II.
Ricevimento: Venerdi 14.30/ 16
Un altro testo per esercitarsi:
prova
Risultati del I esonero
Risultati del II esonero
Risultati dell' appello A testo, soluzioni
Risultati dell'appello B testo
APPELLO C 27/6/19 ore 14 aula M2 Testo
attenzione questa data vale anche per lo scritto di Analisi II per fisici Testo
Soluzioni
Risultati
APPello D (Analisi II fisica) 21/01/2020 aula 311ore 14:00-16:00
APPello E (Analisi II fisica) 10/02/2020 aula 311ore 14:00-16:00
per favore chi intende fare solo l'orale (avendo superato gia' la prova scritta) mi mandi una mail
Gli orali iniziano il giorno
1/7/19 ore 10. Se volete fare l'orale per cortesia prenotatevi e
mandatemi una mail con soggetto
orale AM210.
Chi ha superato gli esoneri puo' presentarsi all'orale in una qualsiasi
sessione dell'anno. Chi ha superato lo scritto di gennaio deve
sostenere l'orale entro la sessione di febbraio. I fisici che hanno
superato gli esoneri possono fare un orale per la prima parte del
programma, se non hanno superato gli esoneri possono provare a
recuperare la prima parte dello scritto presentandosi alla sessione
scritta di febbraio.
Esoneri:
06/11/2018
11:00-13:00
Aula G
09/01/2019
14:00-16:00
Aula G
Programma del corso (vedere poi anche il diario delle lezioni)
1. Funzioni di n variabili reali
Spazi vettoriali. Prodotto scalare (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz), norma, distanza,
topologia standard, compattezza in Rn .
Funzioni continue da Rn in Rm. Continuita' ed uniforme continuita'. Teorema di Weierstrass.
Definizioni di derivata parziale e direzionale, funzioni differenziabili,
gradiente, Prop.5.21: una funzione differenziabile continua e ha tutte le derivate direzionali.
Teorema del differenziale totale Lemma di Schwarz, Prop. 5.24. Funzioni
Ck, regola della catena . Matrice hessiana.
Formula di Taylor al secondo ordine. Punti stazionari massimi e minimi
Matrici definite positive.
Prop. 5.44: i punti di massimo o minimo sono punti critici; i punti critici in cui la
matrice Hessiana e’ definita positiva (negativa) sono punti di minimo (massimo); i punti
critici in cui la matrice Hessiana ha un autovalore positivo e uno negativo sono selle.
Funzioni differenziabili da Rn ad Rm; Matrice jacobiana. Matrice jacobiana della
composizione.
2. Spazi normati e spazi di Banach
Esempi. Successioni convergenti e di Cauchy . Norme equivalenti . Equivalenza delle norme in Rn. Lo spazio delle
funzioni continue con la norma del sup uno spazio di Banach. Esponenziale di matrice.
Equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti (Oss. 6.8). Serie di Neumann
(Oss. 6.9).
Il teorema del punto fisso in spazi di Banach Teo. 6.10
3. Funzioni implicite
Il teorema delle funzioni implicite Teo. 7.1 (con la Prop. 7.4 e il Teorema della
Funzione Inversa).
Massimi e minimi vincolati, moltiplicatori di Lagrange (Prop. 7.9).
4. Equazioni differenziali ordinarie
Esempi: equazioni a variabili separabili, sistemi lineari a coefficienti costanti
(soluzione con l’esponenziale di matrice), sistemi conservativi unidimensionali.
Teorema di esistenza e unicita’ (Teo 8.8).
Dipendenza Lipschitziana dai dati iniziali Prop. 8.10.
L’insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziali lineari di ordine n
forma uno spazio vettoriale n-dimensionale (vedi paragrafo 8.5). Wronskiano, variazione di costanti.
-
Programma dettagliato e diario delle lezioni
- Lezione 1 (26/9) Ripasso sugli spazi vettoriali, definizioni
ed esempi: R^n, matrici, spazi di funzioni, sottospazi affini, spazi
normati.
-
Lezione 2 (27/9) Prodotto scalare,
disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Norma. Distanza. Topologia in R^n.
Topologia degli spazi metrici.
-
Lezione 3 (2/10) ) Sucessioni convergenti e successioni di Cauchy. Proposizione 5.2.
-
Lezione 4 (3/10) Definizione di sottoinsieme compatto (per ricoprimenti e successioni). Teorema 5.3.
- Esercitazione. Testo
-
Lezione 5 (9/10) Funzioni continue da R^n in R^m. Continuita' di
somma, prodotto, quoziente e composizione di funzioni continue (Prop
5.8, i, iii, v). Una funzione continua su un compatto e' uniformemente
continua (Prop. 5.12)
- Lezione 6 (10/10) Ancora sulla continuita', teoremi di confronto, esempi, coordinate polari.
- Lezione 7 (16/10) Funzioni positivamente omogenee e loro continuita'. Esempi ed esercizi.
- Lezione 8 (17/10) Derivate parziali, derivate direzionali,
derivate lungo una curva, piano tangente, definizione di
differenziale.
- Lezione 9. (23/10) Gradiente e curve di livello. Formula di
composizione e derivata lungo una curva. Teorema del differenziale
totale.
- Lezione 10 (25/10) Lo Jacobiano. Jacobiano di funzioni composte. Derivate successive, Lemma di Schwartz.
- Lezione 11 (31/10). Derivate successive, formula di Taylor
al II ordine. Punti critici. Punti di massimo e minimo per funzioni C^2
in un aperto. (tre ore)
Esonero Testo V1 (con soluzioni)
- Lezione 12 (13/11). Formula di Taylor all'ordine n. Resto integrale e resto di Lagrange. Esercizi.
- Lezione 13 (14/11) Formula di Talyor della composizione, somma e prodotto.
- Lezione 14 (15/11) Spazi normati e spazi di Banach. Equivalenza
delle norme. Spazi di matrici. La norma operatoriale. La serie di
Neumann.
- Lezione 15(20/11). Il Lemma delle contrazioni. Il teorema della funzione implicita.
- Lezione 16 (21/11) Formulazione quantitativa e dimostrazione del teorema della funzione implicita.
- Esercitazione
- Tutorato 22/11 Testo
- Lezione 17 (27/11)Teorema della funzione inversa. Vincoli e moltiplicatori di Lagrange.
- Lezione 18 (28/11) Ancora vincoli e moltiplicatori di Lagrange.
- Esercitazione
- Tutorato 29/11 Testo
- Lezione 19 (4/12) Equazioni differenziali ordinarie, teorema di esistenza e unicita'. Intervalli di esistenza e prolungamento
- Lezione 20(5/12) Sistemi lineari di eq. differenziali. Equazioni lineari a coeff. costanti. Esponenziale di matrice
- Lezione 21 (7/12) Ancora esponenziali di matrici. Caso non
diagonalizzabile. L'equazione X'= [A,X]. Sistemi non omogenei.
Variazione delle costanti.
- Lezione 22(11/12) Struttura delle soluzioni delle equazioni differenziali lineari. Matrice fondamentale, wronskiano.
- Lezione 22(13/12) Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti.
- Lezione
23(18/12) Dipendenza dai dati iniziali, lemma di Gronwall. Stabilita'
instabilita' lineare. Le traiettorie di un sistema planare (vedi
dispense di Gentile)
- Lezione 24(19/12) Esercitazione
- Lezione 25(20/12): Sistemi unidimensionali conservativi.
- Tutorato: simulazione dell'esonero.
- Lezione 26 (7/01): ancora esercizi ed esempi
Potete trovare un sacco di esercizi qui (e' la pagina di Pietro Baldi, bidogna andare a materiale didattico a sinistra in basso)
altra simulazione di esonero.
Soluzioni
appunti sulla variazione delle costanti (courtesy of L. Corsi)
(9/1/2019 ORE 14) Esonero Testi V1, V2, V3 (con soluzioni) ,V4