1
|
30/9
|
Introduzione al corso,
importanza e peculiarità della geometria algebrica.
Richiami di algebra di polinomi. |
2
|
30/9
|
Insiemi di zeri di polinomi,
proprietà.
|
3
|
1/10
|
Topologia di Zariski su
\(k^n\), \(n\)-spazio affine su un campo \(k\): \({\mathbb
A}^n_k\). Prime proprietà della topologia di Zariski.
|
4
|
1/10
|
I chiusi di \({\mathbb A}^2\) sono il vuoto, \({\mathbb
A}^2\) e le unioni finite di punti ed ipersuperficie. Corrispondenza
tra ideali di \(k[x_1, \ldots, x_n]\) e chiusi di \({\mathbb
A}^n_k\). Ideali radicali. L'ideale associato ad un
sottoinsieme di \({\mathbb A}^n_k\). |
5
|
8/10
|
Il teorema degli zeri di
Hilbert (solo enunciato) e la corrispondenza biunivoca
tra ideali radicali e chiusi. I chiusi di
\({\mathbb A}^n_k\) sono Noetheriani e quindi
compatti. |
6
|
8/10
|
I chiusi di \({\mathbb
A}^n_k\) sono noetheriani e quindi compatti. Chiusi
irriducibili, componenti irriducibili. |
7
|
10/10
|
Sia \(X\) chiuso di
\({\mathbb A}^n_k\); \(X\) è irriducibile se e solo
se \(I(X)\) è primo. \({\mathbb A}^n_k\) è
irriducibile se e solo se \(k\) è infinito.
Esistenza, unicità (a meno dell'ordine) e finitezza
della componenti irriducibili di un chiuso di \({\mathbb
A}^n_k\).
|
8
|
10/10
|
Corrispondenza tra chiusi di
\({\mathbb A}^n_k\) e \(k\)-algebre finitamente generate e
prive di nilpotenti. Indipendenza algebrica, basi di
trascendenza. |
9
|
14/10
|
Ogni insieme di elementi
algebricamente indipendenti può essere completato ad
una base di trascendenza. Dimensione di un sottoinsieme
chiuso di \({\mathbb A}^n_k\), esempi. |
10
|
14/10
|
Funzioni regolari su un
chiuso \(X\) di \({\mathbb A}^n_k\), l'algebra \(k[X]\)
delle funzioni regolari su \(X\). Isomorfismo tra \(k[X_1,
\ldots, X_n]/I(X)\) e \(k[X]\).
Applicazioni regolari (morfismi) tra due insiemi chiusi \(X
\subseteq {\mathbb A}^n_k\), \(Y \subseteq {\mathbb
A}^m_k\). L'omomorfismo indotto da un morfismo tra due
chiusi. Corrispondenza biunivoca tra l'insieme dei morfismi
tra due chiusi e l'insieme degli omomorfismi tra
\(k\)-algebre (dimostrazione da fare la prossima volta). |
11
|
17/10
|
Dimostrazione della
proposizione precedente. Due chiusi affini isomorfi hanno la
stessa dimensione. |
12
|
17/10
|
Ogni \(k\)-algebra
finitamente generata e priva di nilpotenti è
l'algebra delle funzioni regolari di un unico chiuso affine
(a meno di isomorfismo). Morfismi dominanti. Un morfismo
è dominante se e solo se l'omomorfismo indotto
è iniettivo. Se l'omomorfismo indotto è
suriettivo allora il morfismo è iniettivo e
l'immagine è chiusa. La prossima lezione sarà
il 28/10. |
13
|
28/10
|
Un esempio di
morfismo biiettivo con omomorfismo indotto non suriettivo
(la cubica con cuspide). Prodotto di due chiusi affini \(X
\subseteq {\mathbb A}^n_k, Y \subseteq {\mathbb A}^m_k\).
L'isomorfismo \(k[X] \otimes_k k[Y] \cong k[X \times Y]\). |
14
|
28/10
|
Aperti principali della
topologia di Zariski di un chiuso affine. Gli aperti
principali sono una base. Le proiezioni \(X \times Y \to X\)
e \(X \times Y \to Y\) sono aperte. Estensioni integrali e
finitamente generate di anelli. Un'estensione di
\(k\)-algebre è integrale se e solo se è
finitamente generata (dimostrazione da fare la prossima
volta). |
15
|
31/10
|
Un'estensione di
\(k\)-algebre è integrale se e solo se è
finitamente generata: dimostrazione. Morfismi finiti tra
chiusi affini. I morfismi finiti sono suriettivi, chiusi ed
a fibre finite. |
16
|
31/10
|
Un esempio
di morfismo finito. Polinomi
omogenei, ideali omogenei. Spazio proiettivo
\(n\)-dimensionale su un campo \(k\): \({\mathbb P}^n_k\).
Topologia di Zariski su \({\mathbb P}^n_k\). Chiusi
proiettivi, il cono affine su un chiuso proiettivo. La
prossima lezione sarà il 7/11 ore 9-11 in aula 009.
|
17
|
7/11
|
Ideali omogenei associati a
sottoinsiemi di \({\mathbb P}^n_k\). Corrispondenza
biunivoca tra ideali radicali omogenei, diversi dall'ideale
irrilevante, e chiusi proiettivi e tra chiusi proiettivi
irriducibili ed ideali primi. |
18
|
7/11
|
Identificazione di \({\mathbb
A}^n_k\) con gli aperti coordinati di \({\mathbb P}^n_k\).
Varietà quasi-proiettive, esempi. |
19
|
11/11
|
Ipersuperficie e loro
componenti irriducibili. Funzioni regolari su una
varietà quasi-proiettiva \(X\). L'insieme dei punti
in cui una funzione è regolare è aperto e due
funzioni regolari concidono se coincidono su un aperto non
vuoto. |
20
|
11/11
|
Funzioni razionali su una
varietà quasi-proiettiva \(X\). Esempi di funzioni
regolari e razionali. I corrispondenti anelli \(k(X)\) e
\(k[X]\). Sia \(k\) algebricamente chiuso,
allora \(k({\mathbb P}^n) \cong k(t_1, \ldots, t_n)\) e \(k[{\mathbb
P}^n] \cong k\) (dimostrazione da completare la prossima
volta). |
21
|
14/11
|
Conclusione della
dimostrazione precedente. Sia \(X\) un chiuso affine
irriducibile. Il campo delle funzioni razionali di \(X\)
è il campo dei quozienti di \(k[t_1, \ldots,
t_n]/I(X)\). Inoltre una funzione
razionale su \(X\), visto come varietà
quasi-proiettiva, è regolare se e solo se lo è
su \(X\), visto come chiuso affine. |
22
|
14/11
|
Morfismi ed applicazioni
razionali tra varietà quasi-proiettive, esempi.
Applicazioni birazionali. Morfismi ed applicazioni razionali
nel caso dei chiusi affini. |
23
|
18/11
|
Ancora su morfismi ed
applicazioni razionali nel caso dei chiusi affini.
L'isomorfismo tra \(V(x_1^2 + x_2^2 - x_0^2)\) e
\({\mathbb P}^1_k\) se \(k\) non ha caratteristica \(2\).
L'insieme dei punti in cui un'applicazione razionale
è regolare è aperto e due applicazioni
razionali concidono se coincidono su un aperto non
vuoto. |
24
|
18/11
|
Relazione tra morfismi ed
applicazioni razionali tra varietà quasi-proiettive
ed omomorfismi di \(k\)-algebre. La proiezione da \({\mathbb
P}^n\) a \({\mathbb P}^{n-1}\). Varietà affini e
varietà proiettive. |
25
|
21/11
|
Esempi di varietà
affini che non sono chiuse e di varietà
quasi-proiettive che non sono né affini né
proiettive. Una varietà quasi-proiettiva è
unione finita di aperti che sono varietà
affini. |
26
|
21/11
|
Dimensione di una
varietà quasi-proiettiva. Prime proprietà
della dimensione: \(\dim {\mathbb A}^n = \dim {\mathbb P}^n
= n\); se \(\phi : X \to Y\) è un morfismo dominante
tra due varietà quasi-proiettive irriducibili allora
\(\dim X \geq \dim Y\). Supplementi sul grado di
trascendenza: il grado di trascendenza di un dominio. Se
\(A\) è un dominio contenente un campo \(K\) tale che
\(trdeg_K Quoz(A) < \infty\) allora \(trdeg_K A = trdeg_K
Quoz(A)\). |
27
|
25/11
|
Se \(X\) è una
varietà quasi-proiettiva irriducibile e \(Y \subset
X\) è chiuso non vuoto, \(Y \neq X\), allora \(\dim Y
< \dim X\). |
28
|
25/11
|
Se \(k\) è
algebricamente chiuso, la dimensione di un'ipersuperficie in
\({\mathbb P}^n_k, n\geq 1\), è \(n-1\). Morfismi
genericamente finiti e finiti. Esempio di un morfismo
genericamente finito ma non finito.
|
29
|
28/11
|
Sia \(\Phi: X \to Y\) un
morfismo dominante tra varietà quasi-proiettive
irriducibili. Allora \(\Phi\) è genericamente finito
se e solo se esistono due aperti affini non vuoti \(V
\subseteq X, W \subseteq Y\) tali che \(\Phi_{|V} : V \to
W\) è finito se e solo se esiste un aperto non
vuoto \(W \subseteq Y\) tale che \(\Phi^{-1}(q)\) è
non vuoto e finito per ogni \(q \in W\). |
30
|
28/11
|
Sia \(\Phi: X \to Y\) un
morfismo dominante tra varietà quasi-proiettive.
Allora \(\Phi(X)\) contiene un aperto non vuoto di \(Y\).
Insiemi costruibili. L'immagine di un morfismo tra
varietà quasi-proiettive è costruibile, il
teorema di Chevalley. |
31
|
2/12
|
Applicazioni birazionali.
Due varietà quasi-proiettive irriducibili sono
birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due aperti
densi birazionalmente equivalenti se e solo se hanno due
aperti densi isomorfi se e solo se hanno campi di funzioni
razionali isomorfi. |
32
|
2/12
|
Il teorema dell'elemento
primitivo. Ogni varietà quasi-proiettiva irriducibile
su un campo perfetto è birazionalmente equivalente ad
un'ipersuperficie: dimostrazione nel caso di caratteristica
zero. |
33
|
5/12
|
Ogni varietà
quasi-proiettiva irriducibile su un campo perfetto è
birazionalmente equivalente ad un'ipersuperficie:
dimostrazione nel caso di caratteristica positiva. |
34
|
5/12
|
Conclusione della
dimostrazione. Curve razionali normali e loro equazioni. |
35
|
9/12
|
Morfismo di Veronese,
varietà di Veronese e loro equazioni. Il
complementare di un'ipersuperficie in \({\mathbb P}^n\)
è una varietà affine. Morfismo di Segre e
varietà di Segre. |
36
|
9/12
|
Polinomi biomogenei e chiusi
in \({\mathbb P}^n \times {\mathbb P}^m\). Il grafico di un
morfismo tra varietà quasi-proiettive è
chiuso. Idea di dimostrazione del Teorema: sia \(k\) un
campo algebricamente chiuso. Se \(\Phi : X \to Y\) è
un morfismo con \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) chiuso e \(Y\)
varietà quasi-proiettiva, allora \(\Phi(X)\) è
chiuso in \(Y\). |
37
|
12/12
|
Proiezioni da chiusi di
\({\mathbb P}^n\), proiezioni lineari. Ogni proiezione di
grado \(d\) è composizione di una proiezione lineare
con un morfismo di Veronese. La proiezione da un chiuso
è a fibre finite sui chiusi che non intersecano il
centro di proiezione. Sia \(k\) un campo algebricamente
chiuso. Se \(X \subseteq {\mathbb P}^n_k\) è un
chiuso irriducibile tale che \(\dim X \geq 1\) e \(Y \subset
{\mathbb P}^n_k\) è un'ipersuperficie, allora \(X
\cap Y \neq \emptyset\). \({\mathbb P}^2_k\) non è
isomorfo a \({\mathbb P}^1_k \times {\mathbb P}^1_k\).
|
38
|
12/12
|
Il risultante \(R_{f,g}\) tra
due polinomi \(f, g \in k[t_1, \ldots, t_n, t]\) su un campo
\(k\). Sia \(k\) un campo e siano \(f, g \in k[t_1, \ldots,
t_n, t]\) tali che uno dei due coefficenti direttori,
rispetto a \(t\), sia in \(k^*\). Se esiste \(q = (p, \beta)
\in {\mathbb A}^{n+1}, p \in {\mathbb A}^n, \beta \in k\)
tale che \(f(q) = g(q) = 0\) allora \(R_{f,g}(p)=0\).
Viceversa per ogni \(p \in {\mathbb A}^n\) tale che
\(R_{f,g}(p)=0\), esiste \(q = (p, \beta) \in {\mathbb
A}^{n+1}\) tale che \(f(q) = g(q) = 0\). Risultante e
proiezioni. Sia \(k\) un campo algebricamente chiuso, \(p
\in {\mathbb P}^n\) e sia \(\pi_p: {\mathbb P}^n
\dashrightarrow {\mathbb P}^{n-1}\) la proiezione. Se \(V
\subset {\mathbb P}^n\) è un chiuso tale che \(p
\not\in V\) allora \(\pi_p(V)\) è chiuso in
\({\mathbb P}^{n-1}\). Prima parte della dimostrazione. |
39
|
16/12
|
Sia \(k\) un campo
algebricamente chiuso, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia
\(\pi_p: {\mathbb P}^n \dashrightarrow {\mathbb P}^{n-1}\)
la proiezione. Se \(V \subset {\mathbb P}^n\) è un
chiuso tale che \(p \not\in V\) allora \(\pi_p(V)\) è
chiuso in \({\mathbb P}^{n-1}\). Seconda parte della
dimostrazione. |
40
|
16/12
|
Sia \(k\) un campo
algebricamente chiuso, sia \(Y\) una varietà
quasi-proiettiva, \(p \in {\mathbb P}^n\) e sia \(\varphi =
(Id_Y, \pi_p) : Y \times {\mathbb P}^n \dashrightarrow Y
\times {\mathbb P}^{n-1}\). Se \(V \subset Y \times {\mathbb
P}^n\) è un chiuso tale che \(V \cap (Y \times \{p\})
= \emptyset\) allora \(\varphi(V)\) è chiuso in \(Y
\times {\mathbb P}^{n-1}\). Sia \(k\) un campo
algebricamente chiuso, sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) un
chiuso e sia \(Y\) una varietà quasi-proiettiva.
Allora la proiezione sul primo fattore \(\pi_Y : Y \times X
\to Y\) è chiusa. Teorema: sia \(k\) un campo
algebricamente chiuso, sia \(X \subseteq {\mathbb P}^n\) un
chiuso e sia \(Y\) una varietà quasi-proiettiva. Sia
\(\Phi : X \to Y\) un morfismo. Allora \(\Phi(X)\) è
chiuso in \(Y\). |
41
|
19/12
|
Ogni funzione regolare su una
varietà proiettiva irriducibile è costante.
Sia \(X \subseteq {\mathbb P}^N\) un chiuso di dimensione
pura \(n\), siano \(F_1, \ldots, F_c\) polinomi omogenei non
costanti e sia \(Y = X \cap V(F_1, \ldots, F_c)\). Se \(Y
\neq \emptyset\), allora ogni componente irriducibile di
\(Y\) ha dimensione almeno \(n-c\). Inoltre se \(c=1\) ogni
componente irriducibile di \(Y\) che non lo è di
\(X\) ha dimensione \(n-1\). |
42
|
19/12
|
Sia \(X \subseteq {\mathbb
P}^N\) una varietà quasi-proiettiva di dimensione
pura \(n \geq 1\) e sia \(Z \subset X\) un chiuso
irriducibile non vuoto di codimensione \(c \geq 1\). Allora
esistono \(F_1, \ldots, F_c\) polinomi omogenei non costanti
tali che \(Z\) è una componente irriducibile di
\(X \cap V(F_1, \ldots, F_c)\). Semicontinuità
superiore della dimensione: siano \(X\) ed \(Y\) due
varietà quasi-proiettive irriducibili e sia \(\Phi: X
\to Y\) un morfismo dominante. Sia \(n = \dim X\), \(m =
\dim Y\). Allora (1) per ogni \(q \in \Phi(X)\) ogni
componente irriducibile della fibra \(X_q\) ha dimensione
almeno \(n-m\); (2) esiste un aperto non vuoto \(U \subseteq
Y\) tale che \(X_q\) ha dimensione pura \(n-m\) per ogni \(q
\in U\); (3) per ogni \(k \in {\mathbb Z}\), l'insieme \(Y_k
= \{q \in Y : \dim X_q \leq k\}\) è aperto in
\(Y\). In particolare, se \(\Phi\) è suriettiva,
\(\{q \in Y : \dim X_q =n-m\}\) è aperto in
\(Y\). Dimostrazione della parte (1). |
43
|
23/12
|
Dimostrazione della parte
(2). |
44
|
23/12 |
Dimostrazione della parte (3). Richiami sulla localizzazione
di un anello. |
45
|
23/12 |
Lezione seminariale: il polinomio di Hilbert ed il teorema
di Bézout. La
prossime lezioni, per recuperare le lezioni perse
all'inizio del semestre, saranno mercoledì 14 e venerdì 16 gennaio, in aula 009.
|
46
|
14/1 |
L'anello locale \({\cal
O}_{X,p}\) di una varietà quasi-proiettiva \(X\) in
un suo punto \(p\). Sia \(X\) una varietà affine, sia
\(p \in X\) e sia \(I(p) \subset k[X]\) l'ideale di \(p\).
Allora \({\cal O}_{X,p} \cong k[X]_{I(p)}\). Lo spazio
cotangente \(T_p(X)^* := m_p/m_p^2\) di una varietà
quasi-proiettiva \(X\) in un suo punto \(p\), dove \(m_p\)
è l'ideale massimale di \({\cal O}_{X,p}\). Se \(X
\subseteq {\mathbb A}^n\) è una varietà affine
e \(p \in X\) allora \(\dim T_p(X)^* \leq n\) e
\(I(p)/I(p)^2 \cong m_p/m_p^2\). Dimostrazione della prima
parte. |
47
|
14/1 |
Dimostrazione della seconda
parte. La parte omogenea di grado \(1\) di un polinomio in
un punto. Lo spazio tangente \(T_pX\) ad un chiuso affine
\(X\) in un suo punto \(p\). Sia \(X\) una varietà
affine e sia \(p \in X\). Allora gli spazi tangente e
cotangente in \(p\) sono duali. |
48
|
24/2 |
Ore 14: lezione seminariale. I divisori di Weil. |
49
|
24/2 |
Ore 15: lezione seminariale.
I divisori di Cartier. |
50
|
10/3
|
Ore 14: lezione seminariale.
Il polinomio di Hilbert ed esempi. |
51
|
10/3 |
Ore 15: lezione seminariale.
Sistemi lineari e applicazioni in spazi proiettivi. |
52
|
24/3
|
Ore 13: lezione seminariale. Azione di gruppi su chiusi
affini.
|
53
|
24/3 |
Ore 14: lezione seminariale.
Il teorema di Bertini. |
54
|
24/3 |
Ore 15: lezione seminariale. Varietà
normali e normalizzazione. |