Giornate di Geometria Algebrica ed argomenti correlati VIII Trieste 26-29 Maggio 2006
Conferenze

Geometry of phylogenetic trees Jaroslaw Wisniewski (Warsaw) This is a report on a joint work with Weronika Buczynska about algebraic varieties which come from binary symmetric 3-valent phylogenetic trees. To a tree with n leaves we associate its geometric model which, roughly, describes the locus of the probability distribution of a process modeled by the tree. This turns out to be a Fano variety of dimension 2n-3 and index 4 with Gorenstein terminal singularities. Such models associated to trees with n leaves are deformation equivalent in an ambient projective space of dimension 2n-1-1. Castelnuovo theory and topology of projective varieties. Fyodor Zak (Moscow) We start with a version of Morse theory for affine and projective varieties which allows to bound or even compute basic topological invariants (such as Betti numbers and Euler characteristic) in terms of classes, i.e. degrees of dual hypersurfaces of linear sections. Next we show how to bound classes by degrees of selfintersections of ramification divisors of projections onto linear spaces. Finally we bound these last invariants in terms of degree, dimension, codimension, and sectional genus. Combining these results, we get nice asymptotically sharp upper bounds for various projective and topological invariants of algebraic varieties, and we explain how to get sharp bounds and where to look for varieties on the boundary. This yields a generalization of the Castelnuovo theory for curves to higher dimensional varieties. We assume only basic acquaintance with algebraic geometry and topology. Lefschetz Theorem on Hyperplane sections and the Geometry of Algebraic Varieties Le Dung Trang (ICTP, Trieste) To study Algebraic Varieties S. Lefschetz obtained (in the non-singular case) a famous theorem known as Lefschetz Theorem on hyperplane sections. The theorem compares the topology of a non-singular complex projective variety and a hyperplane section. The lecture will give a proof of Lefschetz theorem, shows how it can be generalized and algebraized. Divisori di Heegner in M3 Michela Artebani (Milano) Sfruttando la teoria dei periodi delle superficie K3 S.Kondo ha mostrato che lo spazio dei moduli delle curve di genere tre e' birazionale a un quoziente aritmetico delle 6-palla complessa. Una classe naturale di divisori in tale spazio e' data da certe sezioni iperpiane della palla, chiamate divisori di Heegner. In questo seminario si presenta la classificazione di tali divisori e la loro interpretazione in M3. K-teoria equivariante di varietà toriche non singolari, e fasci su ventagli Silvano Baggio (Bologna) Una prima parte del seminario riguarderà un risultato di K-teoria equivariante delle varietà toriche liscie. Si considera una successione spettrale, scoperta da Merkurjev, che lega la K-teoria equivariante alla K-teoria ordinaria. Sotto opportune condizioni sul ventaglio della varietà, ho trovato espressioni dei termini E2 di tale successione, che dipendono dalla topologia del complesso simpliciale del ventaglio. Mi soffermerò poi sulle principali tecniche utilizzate, in primo luogo lo studio di fasci definiti su spazi di ventagli, che presentano interesse anche per altre applicazioni in geometria algebrica (coomologia di intersezione) e combinatorica (h- e g- vettori di politopi) Varietà delle secanti a varietà che parametrizzano forme ottenute come prodotto di forme lineari Alessandra Bernardi (Bologna) Dato un polinomio omogeneo F di grado d in n+1 variabili su un campo K algebricamente chiuso, qual è il più piccolo intero s tale che F si possa scrivere come somma di s polinomi omogenei ciascuno dei quali sia ottenuto come prodotto di d forme lineari in K[xo,. . . ,xn]? Tale problema può essere riletto in termini di "tipical rank" di varietà s-secanti a varietà che parametrizzano forme ottenute come prodotto di d forme lineari in K[xo,. . . ,xn] . Per questo particolare problema vi sono solo soluzioni parziali e svariate congetture. Questo problema si inserisce in uno assai più ampio e classico che è lo studio della dimensione di varietà secanti di varietà che parametrizzano forme (problemi "alla Waring"). Sezioni piani di curve integrali in caratteristica positiva Paola Bonacini (Catania) Sia C &sub P3(k) una curva ridotta e irriducibile e k un campo algebricamente chiuso. Se char(k )= 0, allora i punti di una generica sezione piana X di C soddisfano il Principio della Posizione Uniforme (UPP). Da questo fatto segue che la funzione di Hilbert di X è di tipo decrescente e che la generica curva piana di grado minimo contenente X è irriducibile. Se char( k) = p > 0, allora X non soddisfa in generale la UPP. Tuttavia la funzione di Hilbert di X è ancora di tipo decrescente e la generica curva piana di grado minimo contenente X è ancora irriducibile. Mappe momento e volumi equivarianti Alberto della Vedova (Parma) Lo studio delle proprieta' asintotiche di fibrati in rette su varieta' proiettive complesse ha suscitato grande interesse in anni recenti. In particolare, il volume di fibrati big e' stato uno dei temi principali. In questo seminario saranno illustrati risultati analoghi per fibrati linearizzati, ottenuti in collaborazione con R. Paoletti, in presenza dell'azione di un gruppo riduttivo connesso. Numero di moduli di famiglie di curve piane con nodi e cuspidi Concettina Galati (Calabria) Sia PN lo schema di Hilbert delle curve piane di grado n. Sia S^ l'insieme localmente chiuso nella topologia di Zariski di PN , i cui punti corrispondono a curve piane irriducibili con d nodi e k cuspidi. Sia S una componente irriducibile di S^. Se indichiamo con g il genere geometrico di una curva piana di grado n con d nodi e k cuspidi, è naturalmente definita una mappa F da S nello spazio dei moduli Mg delle curve liscie di genere g, che associa ad un punto x di S la classe di isomorfismo della normalizzazione della curva piana corrispondente ad x. Il numero dei moduli di S è la dimensione di F(S). Definiremo il numero dei moduli aspettato di S e faremo vedere che, sotto opportune ipotesi, il numero di moduli di S è sempre minore o uguale di quello aspettato. Costruiremo esempi di famiglie di curve piane con nodi e cuspidi con numero dei moduli uguale a quello aspettato ed analizzeremo, in particolare, la famiglia delle sestiche piane con sei cuspidi. Algebre di Lie differenziali graduate e deformazioni di mappe olomorfe Donatella Iacono (Roma La Sapienza) In questo seminario descriveremo l'algebra di Lie differenziale graduata (DGLA) che governa le deformazioni infinitesimali di mappe olomorfe tra varietà complesse lisce. Nella prima parte introdurremo le DGLA, i funtori deformazione e come associare ad una DGLA un funtore deformazione. Successivamente generalizzeremo queste tecniche per associare un funtore deformazione ad una coppia di morfisimi di DGLA f : L &rarr  M e g : N &rarr  M. Scegliendo opportunamente i morfismi e le DGLA, usiamo questa costruzione per studiare il problema delle deformazioni di una mappa olomorfa e descriveremo esplicitamente la DGLA associata Quozienti GIT di prodotti di spazi proiettivi Francesca Incensi (Bologna) Ci interessiamo alla determinazione di quozienti GIT per l'azione di SL3(C) sul prodotto di n copie dello spazio proiettivo: P2(C)× . . .× P2(C) =P2(C)n . Tale studio risulta particolarmente interessante, perchè mostra chiaramente come i quozienti dipendano dalla scelta di una polarizzazione: un fibrato in rette ampio e una linearizzazione dell'azione. Di conseguenza è naturale studiare sia come cambiano i quozienti al variare della polarizzazione (analisi del cono G-ampio), sia le applicazioni birazionali esistenti tra diversi quozienti (studio delle trasformazioni elementari). In particolare esaminiamo i due casi n = 5 e n = 6, fornendo una classificazione completa dei possibili quozienti. Condizioni di stabilità in categoria derivata: un'introduzione attraverso alcuni esempi Emanuele Macrì (SISSA) In questo seminario ricorderemo le principali proprietà delle condizioni di stabilità in categoria derivata, secondo Bridgeland-Douglas, e daremo alcuni esempi di varietà di stabilità. Curve spin su curve non stabili Marco Pacini (Roma La Sapienza) In un recente lavoro Caporaso, Casagrande e Cornalba hanno costruito compattificazioni di spazi di moduli di theta caratteristiche su curve algebriche lisce. Tali compattificazioni possono essere descritte in termini di fibrati lineari su curve quasistabili, noti come 'radici quadrate limite'. In questo seminario considerero' il caso di curve con cuspidi e tacnodi: verra' data una descrizione geometrica di limiti di theta caratteristiche per una fissata deformazione ad un parametro di una tale curva. In particolare illustrero' come ottenere risultati enumerativi da risultati noti per radici quadrate limite su curve quasistabili, usando un metodo che puo' essere visto come una riduzione stabile per curve polarizzate. Coomologia orbifold di singolarità ADE Fabio Perroni (Zurigo) Dallo studio di alcune teorie fisiche, si prevede che la teoria di Gromov-Witten su un orbifold [Y] dovrebbe essere equivalente a quella su una qualunque risoluzione minimale dello spazio dei moduli coarse Y. Una formulazione matematica di queste considerazioni è stata proposta da Ruan con la seguente congettura: sia Z una risoluzione minimale di Y, utilizzando invarianti di Gromov-Witten di curve razionali in Z che sono contratte dal morfismo risoluzione, è possibile deformare l'anello di coomologia di Z ottenendo una famiglia di anelli H*(Z) (q1,...,qn), dove q1,...,qn sono parametri di deformazione. La congettura prevede l'esistenza di un isomorfismo di anelli tra la coomologia orbifold H*orb([Y]) e H*(Z)(-1,...,-1). Noi studiamo questa congettura nal caso in cui l'orbifold è associato ad una varietà con singolarità trasverse di tipo A,D o E. Nel caso An abbiamo calcolato entrambi gli anelli H*orb([Y]) ed H*(Z)(q1,...,qn). Infine dimostriamo la congettura nel caso A1, ed una versione leggermente modificata di essa nel caso A2. Invariante infinitesimale e prodotti di Massey Cecilia Rizzi (Pavia) In questo seminario, si vuole studiare l'invariante infinitesimale di Griffiths del ciclo di Ceresa da un punto di vista algebrico-geometrico. A questo scopo si costruisce una particolare algebra differenziale graduata (DGA) e su di essa si definisce un triplo prodotto di Massey: sotto opportune ipotesi, tale prodotto "calcola" l'invariante infinitesimale di Griffiths. Questo approccio da un lato mette in evidenza alcuni aspetti di "simmetria" propri del calcolo dell'invariante di Griffiths, suggerendo che sia possibile utilizzare questo metodo anche nel caso dell'invariante infinitesimale superiore, dall'altro permette di mostrare la non formalita' della DGA costruita. Calcolo di Schubert su un'algebra esterna e coomologie sulla grassmanniana Taise Santiago (Politecnico di Torino) Il "Calcolo di Schubert su un'algebra di Grassmann"(SCGA), introdotto nella mia tesi di dottorato, è un formalismo che consente di studiare in modo unificato vari tipi di coomologia sulla grassmanniana come per esempio la classica, la (piccola) quantum e l'equivariante. Quest'ultima è studiata nel caso in cui l'azione è quella di un toro, con soli punti fissi isolati, da A.Knutson e T.Tao [Duke Math. J. 119 (2003), pp 221-260] usando la combinatoria dei "puzzles". In alternativa, usando il formalismo sviluppato nella mia tesi, posso costruire estensioni equivarianti delle classiche formule di Pieri, che consentono di calcolare prodotti di classi di coomologia senza utilizzare i puzzles, rispondendo così affermativamente ad una questione sollevata da V. Lakshimibai, K. Raghavan e P. Sankaran in Equivariant Giambelli and determinantal restrictiction formulas for the Grassmannian, in corso di stampa su Pure Appl. Math. Quarterly. Categorie derivate twistate e superfici K3 Paolo Stellari (Milano) Dopo aver ricordato i risultati principali nell'ambito della teoria delle categorie derivate twistate, mi concentrerò su alcune applicazioni nell'ambito geometrico particolarmente rilevante delle superfici K3. In particolare, discuterò i seguenti risultati: la dimostrazione del Teorema di Torelli Derivato Twistato, un risultato relativo alle strutture di Kummer twistate su superfici K3 e la dimostrazione per superfici K3 twistate generiche di una congettura di Bridgeland circa il gruppo delle autoequivalenze. Disuguaglianze di slope per superficie fibrate: influenza dell'indice di Clifford e dell'irregolarità relativa. Lidia Stoppino (Roma Tre) Sia X una superficie fibrata su una curva B; il rapporto tra l'autointersezione del canonico relativo e il grado del pushforward di questo stesso fascio è uno dei principali invarianti numerici associati alla fibrazione, chiamato la slope. In questo seminario, parlerò del problema di comprendere in che modo la slope dipende dalle proprietà della superficie fibrata. In particolare, illustrerò una stima dal basso che dipende in modo crescente dall'indice di Clifford delle fibre generali e dall'irregolarità relativa della fibrazione. Il metodo usato per la dimostrazione è la generalizzazione di un risultato di Cornalba e Harris che sfrutta la Teoria Geometrica degli Invarianti per ottenere disuguaglianze tra le classi di divisori della base. I punti cruciali della dimostrazione sono l'utilizzo della decomposizione di Fujita del pushforward del canonico relativo, e lo studio della stabilità Hilbert delle proiezioni di curve canoniche. Si tratta di un lavoro in collaborazione con M. A. Barja. Anelli di Cox e superficie di del Pezzo Damiano Testa (Cornell) Gli anelli di Cox sono stati introdotti da D. Cox come sostituto dell'anello delle coordinate omogenee per varietà toriche. E' possibile generalizzare la definizione di tali anelli in maniera da poterli costruire anche per altri tipi di varietà . In questo seminario darò una definizione dell'anello di Cox per una superficie di del Pezzo, parlerò di alcuni esempi e di alcune sue semplici proprietà . Costruirò un sistema geometrico di generatori per l'anello di Cox di una superficie di del Pezzo. Infine mostrerò come, sempre tramite considerazioni geometriche, si possa determinare (almeno congetturalmente) una base per le relazioni tra i generatori descritti precedentemente. Sezioni iperpiane riducibili di varietà proiettive complesse lisce Andrea L. Tironi (Milano) Sia X una sottovarietà algebrica liscia n-dimensionale di uno spazio proiettivo complesso. Molti risultati classici descrivono la struttura di X assumendo particolari ipotesi su una delle sue sezioni iperpiane irriducibili. L'obiettivo del seminario è di discutere cosa accade quando l'intersezione di X con qualche iperpiano è l'unione di due divisori lisci ad incroci trasversi aventi una curva sezione di genere piccolo. Si mostra che un tale problema diviene progressivamente più semplice non appena la dimensione di X aumenta e per n=4 vengono presentati alcuni risultati parziali. Irriducibilità degli spazi di Hurwitz Francesca Vetro (Palermo) Lo studio dell'irriducibilità degli spazi di Hurwitz è stato affrontato per la prima volta alla fine dell'ottocento da Hurwitz, Luroth e Clebsch. Da allora sono stati diversi i matematici che si sono accostati allo studio di tali spazi, anche se tutte le generalizzazioni del risultato di irriducibilità di Hurwitz-Luroth-Clebsch risalgono all'ultimo trentennio. Va sottolineato, inoltre, come nulla si sapeva circa l'irriducibilità degli spazi di Hurwitz di rivestimenti di curve di genere maggiore di zero fino al 2002. Nel mio intervento, dopo aver delineato una panoramica dei risultati noti ed aver inquadrato il problema dello studio dell'irriducibilità degli spazi di Hurwitz sottolineando come esso sia riconducibile alla risoluzione di un problema di natura puramente combinatoria, mi soffermerò sui risultati di irriducibilità da me ottenuti per spazi di Hurwitz parametrizzanti rivestimenti di curve di genere positivo con una fibra speciale. Curve ellittiche, punti di Heegner e funzioni L p-adiche: una formula di tipo Gross-Zagier Stefano Vigni (Milano) Sia E/F una curva ellittica definita sopra il campo di numeri F, sia E(F) il gruppo finitamente generato dei punti F-razionali su E e sia L(E/F, s) la funzione L associata a E/F. La Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer afferma, nella sua forma più semplice, che: rankZ E(F) = ords=1 L(E/F, s) In questa direzione, un risultato fondamentale di Gross e Zagier stabilisce che se E è definita su Q e K è un opportuno campo quadratico immaginario allora: L&prime (E/K, 1) = c h(&alphaK), dove c è una costante non nulla, h è l'altezza di Néron-Tate su E(Q) e &alphaK è un certo punto di Heegner in E(K). Dopo aver ricordato definizioni e proprietà fondamentali di curve ellittiche, curve di Shimura e punti di Heegner, enunceremo un analogo p-adico della formula di Gross e Zagier, in cui la funzione L classica è sostituita da una " funzione " L p -adica introdotta in termini di punti di Heegner su E. Tale formula si inquadra naturalmente all'interno della teoria di Bertolini e Darmon dei cosiddetti analoghi p-adici anticiclotomici della Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer. Infine, se il tempo lo permetterà, dedicheremo l'ultima parte della nostra esposizione ad un rapido cenno delle tecniche che entrano in gioco nella dimostrazione del risultato descritto. Spazio dei moduli e Stack di curve iperellittiche Filipo Viviani (Tor Vergata) In questo seminario parleremo di un lavoro in collaborazione con S. Gorchinskiy, in cui studiamo quanto lo spazio dei moduli delle curve iperellittiche e' lontano dall'essere uno spazio dei moduli fine, cioe' quanto differisce dallo stack delle curve iperellittiche. In particolare esamineremo l'esistenza di una famiglia tautologica e studieremo famiglie di curve iperellittiche aventi la stessa mappa modulare. Nell'ultima parte confronteremo il gruppo di Picard dello spazio dei moduli con quello dello stack, dando generatori espliciti di quest'ultimo.

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